Considere a superfície conhecida como trombeta de Gabriel, obtida pela rotação da curva y=\frac{1}{x}, com x \geq 1, em torno do eixo x.
Uma parametrização dessa superfície é dada por \sigma(u, v)=\left(u, \frac{1}{u} \cos v, \frac{1}{u} \sin v\right), u \geq 1,0 \leq v<2 \pi.
(a) Usando essa parametrização, escreva a área da superfície da trombeta de Gabriel como uma integral imprópria e discuta sua convergência.
(b) Calcule o volume da região sólida delimitada pela trombeta de Gabriel e o plano x=1.
As perguntas são:
(a) escrever a área da superfície (trombeta de Gabriel) como uma integral imprópria usando essa parametrização e discutir se essa integral converge ou diverge;
(b) calcular o volume da região sólida limitada pela trombeta e pelo plano x=1.
Passo 2
Fórmula que vamos usar para a área de uma superfície parametrizada: se \sigma(u,v) é a parametrização, a área é
onde \sigma_u e \sigma_v são as derivadas parciais de \sigma em relação a u e v, respectivamente, e \times é o produto vetorial. Intuição curta: \sigma_u\times\sigma_v dá um vetor ortogonal à superfície cuja magnitude é a área do paralelogramo gerado por \sigma_u e \sigma_v; integrando essa magnitude sobre o domínio obtemos a área total.
Calculemos as derivadas parciais explicitamente (cada componente em TeX):
Como \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{u}\,du diverge (logaritmo que cresce sem limite), a comparação direta mostra que
\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{1+u^4}}{u^3}\,du
também diverge. Portanto a área da trombeta de Gabriel é infinita.
Passo 5
Agora o volume pedido na parte (b). Método usado: fatias perpendiculares ao eixo x (método dos discos). Para um valor fixo de x=u a seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio r(u)=\dfrac{1}{u} (porque a curva geradora tem y=\dfrac{1}{x} e a rotação gera um círculo de raio 1/x). A área desse disco é
\text{área do disco}=\pi r(u)^2=\pi\left(\frac{1}{u}\right)^2=\frac{\pi}{u^2}.á
Integrando essa área ao longo de u de 1 até \infty obtemos o volume: