Considere a superfície conhecida como trombeta de Gabriel, obtida pela rotação da curva y=\frac{1}{x}, com x \geq 1, em torno do eixo x.
Uma parametrização dessa superfície é dada por \sigma(u, v)=\left(u, \frac{1}{u} \cos v, \frac{1}{u} \sin v\right), u \geq 1,0 \leq v<2 \pi.
(a) Usando essa parametrização, escreva a área da superfície da trombeta de Gabriel como uma integral imprópria e discuta sua convergência.
(b) Calcule o volume da região sólida delimitada pela trombeta de Gabriel e o plano x=1.

Passo 1

O enunciado fornece a parametrização
\sigma(u,v)=\left(u,\frac{1}{u}\cos v,\frac{1}{u}\sin v\right), \qquad u\ge 1,\;0\le v<2\pi.
As perguntas são:
(a) escrever a área da superfície (trombeta de Gabriel) como uma integral imprópria usando essa parametrização e discutir se essa integral converge ou diverge;
(b) calcular o volume da região sólida limitada pela trombeta e pelo plano x=1.

Passo 2

Fórmula que vamos usar para a área de uma superfície parametrizada: se \sigma(u,v) é a parametrização, a área é
\text{Área}=\iint_{D}\big\|\sigma_u\times\sigma_v\big\|\,dudv,Á
onde \sigma_u e \sigma_v são as derivadas parciais de \sigma em relação a u e v, respectivamente, e \times é o produto vetorial. Intuição curta: \sigma_u\times\sigma_v dá um vetor ortogonal à superfície cuja magnitude é a área do paralelogramo gerado por \sigma_u e \sigma_v; integrando essa magnitude sobre o domínio obtemos a área total.
Calculemos as derivadas parciais explicitamente (cada componente em TeX):
\sigma(u,v)=\left(u,\frac{\cos v}{u},\frac{\sin v}{u}\right).
Derivando em u:
\sigma_u=\left(1,-\frac{\cos v}{u^2},-\frac{\sin v}{u^2}\right).
Derivando em v:
\sigma_v=\left(0,-\frac{\sin v}{u},\frac{\cos v}{u}\right).

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial \sigma_u\times\sigma_v. Fazendo componente a componente:
\sigma_u\times\sigma_v= \Big( \underbrace{\left(-\frac{\cos v}{u^2}\right)\left(\frac{\cos v}{u}\right)-\left(-\frac{\sin v}{u^2}\right)\left(-\frac{\sin v}{u}\right)}_{=\,-\frac{1}{u^3}}, \underbrace{\left(-\frac{\sin v}{u^2}\right)\cdot 0 - 1\cdot\left(\frac{\cos v}{u}\right)}_{=-\frac{\cos v}{u}}, \underbrace{1\cdot\left(-\frac{\sin v}{u}\right)-\left(-\frac{\cos v}{u^2}\right)\cdot 0}_{=-\frac{\sin v}{u}} \Big).
Portanto
\sigma_u\times\sigma_v=\left(-\frac{1}{u^3},-\frac{\cos v}{u},-\frac{\sin v}{u}\right).
A norma desse vetor é
\big\|\sigma_u\times\sigma_v\big\| =\sqrt{\frac{1}{u^6}+\frac{\cos^2 v}{u^2}+\frac{\sin^2 v}{u^2}} =\sqrt{\frac{1}{u^6}+\frac{1}{u^2}} =\frac{\sqrt{1+u^4}}{u^3}.

Passo 4

Com isso a área da superfície (domínio u\in[1,\infty),\;v\in[0,2\pi)) é a integral imprópria
\text{Área}= \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{1+u^4}}{u^3}\,du\,dv =2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{1+u^4}}{u^3}\,du.Á
Agora discutimos a convergência dessa integral imprópria. Para u grande, \sqrt{1+u^4} comporta‑se como u^2. Mais rigorosamente, para todo u\ge1 vale
\sqrt{1+u^4}\ge \sqrt{u^4}=u^2,
logo, para u\ge1,
\frac{\sqrt{1+u^4}}{u^3}\ge\frac{u^2}{u^3}=\frac{1}{u}.
Como \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{u}\,du diverge (logaritmo que cresce sem limite), a comparação direta mostra que
\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{1+u^4}}{u^3}\,du
também diverge. Portanto a área da trombeta de Gabriel é infinita.

Passo 5

Agora o volume pedido na parte (b). Método usado: fatias perpendiculares ao eixo x (método dos discos). Para um valor fixo de x=u a seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio r(u)=\dfrac{1}{u} (porque a curva geradora tem y=\dfrac{1}{x} e a rotação gera um círculo de raio 1/x). A área desse disco é
\text{área do disco}=\pi r(u)^2=\pi\left(\frac{1}{u}\right)^2=\frac{\pi}{u^2}.á
Integrando essa área ao longo de u de 1 até \infty obtemos o volume:
V=\int_{1}^{\infty}\frac{\pi}{u^2}\,du =\pi\int_{1}^{\infty}u^{-2}\,du.
Essa integral imprópria converge porque u^{-2} é integrável no infinito. Calculando:
\pi\int_{1}^{\infty}u^{-2}\,du =\pi\left[-\frac{1}{u}\right]_{1}^{\infty} =\pi\left(0-(-1)\right)=\pi.

Resposta

\displaystyle \text{Área}=2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{1+u^4}}{u^3}\,du=\inftyÁ (diverge)
\displaystyle V=\pi

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