(a) Encontre uma parametrização do elipsoide, indicando claramente o domínio dos parâmetros.
(b) Considere o caso em que b=a e c>a (elipsoide prolato). Mostre que a norma do vetor normal é dada por \left\|\vec{\sigma}_{\theta} \times \vec{\sigma}_{\varphi}\right\|=a \sin \theta \sqrt{a^{2} \cos ^{2} \theta+c^{2} \sin ^{2} \theta}.
(c) Calcule a área do elipsoide prolato.
Dica: use que \int_{-1}^{1} \sqrt{c^{2}-\alpha^{2} u^{2}} d u=a+\frac{c^{2}}{\alpha} \arctan \left(\frac{\alpha}{a}\right), onde \alpha^{2}=c^{2}-a^{2}.
(d) Calcule o volume da região sólida limitada pelo elipsoide.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Perguntas:
(a) Encontrar uma parametrização do elipsoide e indicar o domínio dos parâmetros.
(b) No caso b=a (elipsoide prolato, com c>a), mostrar que\left\|\vec{\sigma}_{\theta}\times\vec{\sigma}_{\varphi}\right\|=a\sin\theta\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta+c^{2}\sin^{2}\theta}.(c) Calcular a área do elipsoide prolato (use a dica fornecida).
(d) Calcular o volume da região sólida limitada pelo elipsoide.
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda):
Parametrizações para superfícies de revolução/escala de esfera são úteis.
A área de uma superfície parametrizada \vec\sigma(\theta,\varphi) é \iint \|\vec\sigma_{\theta}\times\vec\sigma_{\varphi}\|\,d\theta d\varphi.
O volume de um corpo obtido por escala linear de uma bola unitária usa o determinante do mapa (fator abc no caso de escala nas três direções).
Passo 2
(a) Propondo uma parametrização natural.
Pense assim: a esfera unitária tem parametrização em ângulos polares (\theta,\varphi):
Para obter o elipsoide que escala as coordenadas por a,b,c basta multiplicar cada componente pela respectiva semi-aresta. Assim proponho a parametrização
que é exatamente o que havia que mostrar. Observação prática: nos pólos \theta=0,\pi tem \sin\theta=0, então a norma vale 0 (corresponde à degenerescência do sistema de coordenadas nesses pontos), o que é esperado.]
Passo 6
(c) Cálculo da área do elipsoide prolato.
A área da superfície é
Continuando (c): simplificar o integral por substituição. Faço u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta varia de 0 a \pi, u varia de 1 a -1. Assim
(d) Volume da região sólida limitada pelo elipsoide. Método: mudança linear que leva a elipsoide para a bola unitária. Considere a transformação linear
T(u,v,w)=(au,\;av,\;cw).
O conjunto \{(u,v,w):u^{2}+v^{2}+w^{2}\le 1\} (bola unitária) é levado por T para a região \{(x,y,z):\tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{a^{2}}+\tfrac{z^{2}}{c^{2}}\le 1\}, que é exatamente o interior do elipsoide prolato. O Jacobiano da transformação é |\det D T|=|a\cdot a\cdot c|=a^{2}c. Assim o volume é
V=(\text{fator de escala})\times(\text{volume da bola unitária}) = a^{2}c\cdot \frac{4\pi}{3}.á