Considere o elipsoide:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, \quad c>a>0 .
(a) Encontre uma parametrização do elipsoide, indicando claramente o domínio dos parâmetros.
(b) Considere o caso em que b=a e c>a (elipsoide prolato). Mostre que a norma do vetor normal é dada por \left\|\vec{\sigma}_{\theta} \times \vec{\sigma}_{\varphi}\right\|=a \sin \theta \sqrt{a^{2} \cos ^{2} \theta+c^{2} \sin ^{2} \theta}.
(c) Calcule a área do elipsoide prolato.
Dica: use que \int_{-1}^{1} \sqrt{c^{2}-\alpha^{2} u^{2}} d u=a+\frac{c^{2}}{\alpha} \arctan \left(\frac{\alpha}{a}\right), onde \alpha^{2}=c^{2}-a^{2}.
(d) Calcule o volume da região sólida limitada pelo elipsoide.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: o elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,\qquad c>a>0.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar uma parametrização do elipsoide e indicar o domínio dos parâmetros.
    (b) No caso b=a (elipsoide prolato, com c>a), mostrar que \left\|\vec{\sigma}_{\theta}\times\vec{\sigma}_{\varphi}\right\|=a\sin\theta\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta+c^{2}\sin^{2}\theta}.(c) Calcular a área do elipsoide prolato (use a dica fornecida).
    (d) Calcular o volume da região sólida limitada pelo elipsoide.
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda):
  • Parametrizações para superfícies de revolução/escala de esfera são úteis.
  • A área de uma superfície parametrizada \vec\sigma(\theta,\varphi) é \iint \|\vec\sigma_{\theta}\times\vec\sigma_{\varphi}\|\,d\theta d\varphi.
  • O volume de um corpo obtido por escala linear de uma bola unitária usa o determinante do mapa (fator abc no caso de escala nas três direções).

Passo 2

(a) Propondo uma parametrização natural.
Pense assim: a esfera unitária tem parametrização em ângulos polares (\theta,\varphi):
(x,y,z)=(\sin\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta), \qquad 0\le\theta\le\pi,\;0\le\varphi<2\pi.
Para obter o elipsoide que escala as coordenadas por a,b,c basta multiplicar cada componente pela respectiva semi-aresta. Assim proponho a parametrização
\vec\sigma(\theta,\varphi)=\bigl(a\sin\theta\cos\varphi,\;b\sin\theta\sin\varphi,\;c\cos\theta\bigr),
com domínio
0\le\theta\le\pi,\qquad 0\le\varphi<2\pi.
Explicando por que funciona: substituindo essas expressões na equação do elipsoide,
\frac{(a\sin\theta\cos\varphi)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b\sin\theta\sin\varphi)^{2}}{b^{2}}+\frac{(c\cos\theta)^{2}}{c^{2}} =\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\theta=1.
Portanto cada ponto do elipsoide é atingido. O domínio dado cobre toda a superfície uma vez (pólos incluídos quando \theta=0,\pi).

Passo 3

(b) Agora especializar para o caso prolato b=a. A parametrização torna-se
\vec\sigma(\theta,\varphi)=\bigl(a\sin\theta\cos\varphi,\;a\sin\theta\sin\varphi,\;c\cos\theta\bigr).
Vou calcular as derivadas parciais \vec\sigma_{\theta} e \vec\sigma_{\varphi}, e em seguida o produto vetorial.
Calcule \vec\sigma_{\theta}:
\vec\sigma_{\theta}=\left(\frac{\partial}{\partial\theta}(a\sin\theta\cos\varphi),\; \frac{\partial}{\partial\theta}(a\sin\theta\sin\varphi),\; \frac{\partial}{\partial\theta}(c\cos\theta)\right) =(a\cos\theta\cos\varphi,\;a\cos\theta\sin\varphi,\;-c\sin\theta).
Calcule \vec\sigma_{\varphi}:
\vec\sigma_{\varphi}=\left(\frac{\partial}{\partial\varphi}(a\sin\theta\cos\varphi),\; \frac{\partial}{\partial\varphi}(a\sin\theta\sin\varphi),\; \frac{\partial}{\partial\varphi}(c\cos\theta)\right) =(-a\sin\theta\sin\varphi,\;a\sin\theta\cos\varphi,\;0).

Passo 4

Continuando (b): calcular o produto vetorial \vec\sigma_{\theta}\times\vec\sigma_{\varphi} componente a componente. Usando a fórmula
\vec{A}\times\vec{B}=(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2},\;A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3},\;A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}),
com \vec{A}=\vec\sigma_{\theta} e \vec{B}=\vec\sigma_{\varphi}, obtemos:
  • Componente x:
A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}=a\cos\theta\sin\varphi\cdot 0 - (-c\sin\theta)\cdot(a\sin\theta\cos\varphi) = a c \sin^{2}\theta\cos\varphi.
  • Componente y:
A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3}=(-c\sin\theta)\cdot(-a\sin\theta\sin\varphi) - a\cos\theta\cos\varphi\cdot 0 = a c \sin^{2}\theta\sin\varphi.
  • Componente z:
A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=a\cos\theta\cos\varphi\cdot a\sin\theta\cos\varphi - a\cos\theta\sin\varphi\cdot(-a\sin\theta\sin\varphi) = a^{2}\sin\theta\cos\theta(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi) = a^{2}\sin\theta\cos\theta.
Logo
\vec\sigma_{\theta}\times\vec\sigma_{\varphi}=\bigl(a c \sin^{2}\theta\cos\varphi,\;a c \sin^{2}\theta\sin\varphi,\;a^{2}\sin\theta\cos\theta\bigr).

Passo 5

Ainda (b): calcular a norma do produto vetorial. Primeiro a norma ao quadrado:
\begin{aligned} \|\vec\sigma_{\theta}\times\vec\sigma_{\varphi}\|^{2} &=(a c \sin^{2}\theta)^{2}(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi)+(a^{2}\sin\theta\cos\theta)^{2}\\[6pt] &=a^{2}c^{2}\sin^{4}\theta + a^{4}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\\[6pt] &=a^{2}\sin^{2}\theta\bigl(c^{2}\sin^{2}\theta + a^{2}\cos^{2}\theta\bigr). \end{aligned}
Tomando raiz positiva (norma),
\|\vec\sigma_{\theta}\times\vec\sigma_{\varphi}\| = a\sin\theta\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta+c^{2}\sin^{2}\theta},
que é exatamente o que havia que mostrar. Observação prática: nos pólos \theta=0,\pi tem \sin\theta=0, então a norma vale 0 (corresponde à degenerescência do sistema de coordenadas nesses pontos), o que é esperado.]

Passo 6

(c) Cálculo da área do elipsoide prolato.
A área da superfície é
A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\|\vec\sigma_{\theta}\times\vec\sigma_{\varphi}\|\,d\theta d\varphi =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} a\sin\theta\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta+c^{2}\sin^{2}\theta}\,d\theta d\varphi.
Integrando em \varphi (o integrando não depende de \varphi) dá um fator 2\pi:
A=2\pi a\int_{0}^{\pi}\sin\theta\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta+c^{2}\sin^{2}\theta}\,d\theta.

Passo 7

Continuando (c): simplificar o integral por substituição. Faço u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta. Quando \theta varia de 0 a \pi, u varia de 1 a -1. Assim
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta+c^{2}\sin^{2}\theta}\,d\theta =\int_{1}^{-1}-\sqrt{a^{2}u^{2}+c^{2}(1-u^{2})}\,du =\int_{-1}^{1}\sqrt{c^{2}-(c^{2}-a^{2})u^{2}}\,du.
Defina \alpha^{2}=c^{2}-a^{2} (como na dica). Então o integral é
\int_{-1}^{1}\sqrt{c^{2}-\alpha^{2}u^{2}}\,du.
Pela dica do enunciado:
\int_{-1}^{1}\sqrt{c^{2}-\alpha^{2}u^{2}}\,du = a+\frac{c^{2}}{\alpha}\arctan\!\left(\frac{\alpha}{a}\right).
Portanto a área final é
A=2\pi a\left(a+\frac{c^{2}}{\alpha}\arctan\!\left(\frac{\alpha}{a}\right)\right), \qquad\text{onde }\alpha=\sqrt{c^{2}-a^{2}}.
Se quiser escrever expandido:
A=2\pi a^{2} + 2\pi a\frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}-a^{2}}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{c^{2}-a^{2}}}{a}\right).

Passo 8

(d) Volume da região sólida limitada pelo elipsoide. Método: mudança linear que leva a elipsoide para a bola unitária. Considere a transformação linear
T(u,v,w)=(au,\;av,\;cw).
O conjunto \{(u,v,w):u^{2}+v^{2}+w^{2}\le 1\} (bola unitária) é levado por T para a região \{(x,y,z):\tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{a^{2}}+\tfrac{z^{2}}{c^{2}}\le 1\}, que é exatamente o interior do elipsoide prolato. O Jacobiano da transformação é |\det D T|=|a\cdot a\cdot c|=a^{2}c. Assim o volume é
V=(\text{fator de escala})\times(\text{volume da bola unitária}) = a^{2}c\cdot \frac{4\pi}{3}.á
Portanto
V=\frac{4\pi}{3}\,a^{2}c.

Resposta

(a) \displaystyle \vec\sigma(\theta,\varphi)=\bigl(a\sin\theta\cos\varphi,\;b\sin\theta\sin\varphi,\;c\cos\theta\bigr),\quad 0\le\theta\le\pi,\;0\le\varphi<2\pi.
(b) \displaystyle \left\|\vec{\sigma}_{\theta}\times\vec{\sigma}_{\varphi}\right\| = a\sin\theta\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta+c^{2}\sin^{2}\theta}.
(c) \displaystyle A=2\pi a\!\left(a+\frac{c^{2}}{\sqrt{c^{2}-a^{2}}}\arctan\!\left(\frac{\sqrt{c^{2}-a^{2}}}{a}\right)\right).
(d) \displaystyle V=\frac{4\pi}{3}\,a^{2}c.

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