O centro de massa de uma semiesfera sólida de raio R (considere densidade constante igual a 1) é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o centro de massa de uma semiesfera sólida com raio $ R $ e densidade constante igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e simetria geométrica. Precisamos calcular a posição do centro de massa ao longo do eixo vertical da semiesfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada. Como a densidade é constante e a semiesfera é simétrica, o centro de massa estará alinhado com o eixo vertical (z).
Passo 3
Para achar a posição do centro de massa ao longo do eixo z, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é a coordenada z do centro de massa, $ dV $ é um elemento de volume, e as integrais no numerador e denominador representam, respectivamente, o momento em relação ao plano de base e o volume total da semiesfera.
Passo 4
Vamos trabalhar em coordenadas esféricas para facilitar a integração. Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é dado por:
Como a densidade é 1, não precisamos multiplicar por nenhum fator adicional.
Passo 5
A posição z em coordenadas esféricas é $ z = r \cos\theta $. Substituindo na fórmula do centro de massa, temos:
Passo 6
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, o denominador (volume da semiesfera):
Agora, o numerador:
Passo 7
Agora, substituímos os resultados na fórmula do centro de massa:
Resposta
O centro de massa da semiesfera sólida está localizado a uma distância de
do plano de base ao longo do eixo vertical.