O centro de massa de uma semiesfera sólida de raio R (considere densidade constante igual a 1) é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o centro de massa de uma semiesfera sólida com raio $ R $ e densidade constante igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e simetria geométrica. Precisamos calcular a posição do centro de massa ao longo do eixo vertical da semiesfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada. Como a densidade é constante e a semiesfera é simétrica, o centro de massa estará alinhado com o eixo vertical (z).

Passo 3

Para achar a posição do centro de massa ao longo do eixo z, usamos a seguinte fórmula:
barz = integral z , dVintegral dV
Aqui, barz é a coordenada z do centro de massa, $ dV $ é um elemento de volume, e as integrais no numerador e denominador representam, respectivamente, o momento em relação ao plano de base e o volume total da semiesfera.

Passo 4

Vamos trabalhar em coordenadas esféricas para facilitar a integração. Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é dado por:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Como a densidade é 1, não precisamos multiplicar por nenhum fator adicional.

Passo 5

A posição z em coordenadas esféricas é $ z = r \cos\theta $. Substituindo na fórmula do centro de massa, temos:
z = r costheta

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, o denominador (volume da semiesfera):
V = integral0^2pi dphi integral0^pi2 sintheta , dtheta integral0^R r^2 , dr = 2pi cdot 1 cdot R^33 = 2pi R^33
Agora, o numerador:
integral z , dV = integral0^2pi dphi integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta integral0^R r^3 , dr = 2pi cdot 12 cdot R^44 = pi R^44

Passo 7

Agora, substituímos os resultados na fórmula do centro de massa:
barz = pi R^442pi R^33 = 3R8

Resposta

O centro de massa da semiesfera sólida está localizado a uma distância de 3R8 do plano de base ao longo do eixo vertical.

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