Em um grupo formado por 12 pessoas, sendo 5 homens e 7 mulheres, qual a probabilidade de que, ao sortear três pessoas ao acaso, sejam sorteados duas mulheres e um homem, em qualquer ordem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um grupo de 12 pessoas, sendo 5 homens e 7 mulheres. A questão pede para descobrir qual a probabilidade de, ao sortearmos três pessoas aleatoriamente, saírem duas mulheres e um homem, não importa a ordem. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 3 pessoas entre as 12 disponíveis. Para isso, usamos a combinação, que é uma forma de contar quantas maneiras diferentes podemos selecionar um subconjunto de itens sem se preocupar com a ordem. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens,
  • $ k $ é o número de itens que queremos escolher,
  • $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Aplicando isso:
n

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de maneiras favoráveis, ou seja, as formas de escolher exatamente 2 mulheres e 1 homem. Primeiro, calculamos as combinações para as mulheres e para os homens separadamente e depois multiplicamos os resultados.
Para escolher 2 mulheres das 7 disponíveis:
C(7, 2) = 7!2!(7 - 2)! = 7!2! times 5!
E para escolher 1 homem dos 5 disponíveis:
C(5, 1) = 5!1!(5 - 1)! = 5!1! times 4!

Passo 4

Depois de calcular essas combinações, multiplicamos os resultados para obter o número total de combinações favoráveis:
C(7, 2) times C(5, 1) = Número de maneiras de escolher 2 mulheres times Número de maneiras de escolher 1 homem úú

Passo 5

Finalmente, a probabilidade de ocorrer o evento desejado (2 mulheres e 1 homem) é a razão entre o número de combinações favoráveis e o número total de combinações possíveis:
Probabilidade = Combinações favoráveisCombinações totais = C(7, 2) times C(5, 1)C(12, 3) çõáçõ

Resposta

A probabilidade de sortear duas mulheres e um homem é 2144, o que equivale aproximadamente a 47,73%.

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