Em um grupo formado por 12 pessoas, sendo 5 homens e 7 mulheres, qual a probabilidade de que, ao sortear três pessoas ao acaso, sejam sorteados duas mulheres e um homem, em qualquer ordem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um grupo de 12 pessoas, sendo 5 homens e 7 mulheres. A questão pede para descobrir qual a probabilidade de, ao sortearmos três pessoas aleatoriamente, saírem duas mulheres e um homem, não importa a ordem. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 3 pessoas entre as 12 disponíveis. Para isso, usamos a combinação, que é uma forma de contar quantas maneiras diferentes podemos selecionar um subconjunto de itens sem se preocupar com a ordem. A fórmula da combinação é:
Onde:
- $ n $ é o total de itens,
- $ k $ é o número de itens que queremos escolher,
- $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos calcular o número de maneiras favoráveis, ou seja, as formas de escolher exatamente 2 mulheres e 1 homem. Primeiro, calculamos as combinações para as mulheres e para os homens separadamente e depois multiplicamos os resultados.
Para escolher 2 mulheres das 7 disponíveis:
E para escolher 1 homem dos 5 disponíveis:
Passo 4
Depois de calcular essas combinações, multiplicamos os resultados para obter o número total de combinações favoráveis:
Passo 5
Finalmente, a probabilidade de ocorrer o evento desejado (2 mulheres e 1 homem) é a razão entre o número de combinações favoráveis e o número total de combinações possíveis:
Resposta
A probabilidade de sortear duas mulheres e um homem é
, o que equivale aproximadamente a 47,73%.