1. Centro de massa Um sólido de densidade constante é delimitado abaixo pelo plano z=0, acima pelo cone z=r, r \geq 0, e dos lados pelo cilindro r=1. Encontre o centro de massa.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um sólido de densidade constante limitado por
  • o plano \;z=0,
  • o cone \;z=r para r\ge0,
  • e o cilindro lateral r=1.
    O conteúdo envolvido é o cálculo de centro de massa em coordenadas cilíndricas. Vamos usar a simetria para ver que \bar x=\bar y=0 e calcular \bar z por meio do volume V e do momento \displaystyle \iiint_E z\,dV.

Passo 2

Descrevemos a região E em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z):
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le1,\quad 0\le z\le r.
Como a densidade é constante, podemos tomar \rho=1 e obter \bar x=\bar y=0. Resta calcular \bar z=\dfrac{1}{V}\displaystyle\iiint_E z\,dV.

Passo 3

Calculamos o volume
V=\iiint_E dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{r}r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}r\bigl[r\bigr]\,dr =2\pi\int_{0}^{1}r^{2}\,dr =2\pi\cdot\frac{1}{3} =\frac{2\pi}{3}.

Passo 4

Calculamos o momento em z:
M_z=\iiint_E z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{r}z\,r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}r\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{r}dr =2\pi\int_{0}^{1}\frac{r^{3}}{2}\,dr =2\pi\cdot\frac{1}{8} =\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Por fim,
\bar z=\frac{M_z}{V} =\frac{\pi/4}{2\pi/3} =\frac{\pi}{4}\cdot\frac{3}{2\pi} =\frac{3}{8}.

Resposta

O centro de massa é
(\bar x,\bar y,\bar z) = \bigl(0,0,\tfrac{3}{8}\bigr).

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