-e15 Um astronauta parte da Terra e viaja com uma velocidade de 0,99 c em direção à estrela Vega, que está a 26,00 anos-luz de distância. Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, (a) quando o astronauta chegar a Vega; (b) quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega? (c) Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
  • Velocidade do astronauta: v=0,99\,c.
  • Distância Terra–Vega medida em repouso da Terra: d=26,00 anos-luz.
Perguntas:
(a) Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, quando o astronauta chegar a Vega?
(b) Quando os observadores terrestres receberão a notícia de que o astronauta chegou a Vega?
(c) Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?

Passo 2

Calcular o tempo de viagem medido pelos relógios da Terra (parte a).
Explicação da ideia/fórmula: em um referencial onde a distância entre Terra e Vega é d e o viajante vai a velocidade v, o tempo medido nesse referencial é dado por
t=\frac{d}{v}.
Aqui usamos anos-luz para distância e c para velocidade da luz, então se d está em anos-luz e v em fração de c, o resultado vem em anos.
Aplicando os valores:
t=\frac{26,00}{0,99}.
Fazendo a divisão passo a passo:
  • 0,99 cabe em 26,00 um total de aproximadamente 26,262626\ldots.
    Arredondando para três casas decimais:
t \approx 26,263\\ \text{anos}.

Passo 3

Calcular quando a Terra recebe a notícia (parte b).
Explicação da ideia: a chegada do astronauta a Vega ocorre, no tempo da Terra, em t (calculado acima). A notícia (sinal luminoso) viaja de Vega até a Terra à velocidade c, percorrendo a mesma distância d=26,00 anos-luz, então leva mais d/c anos — ou simplesmente 26,00 anos no referencial da Terra.
Portanto o instante em que a Terra recebe a notícia é
t_{\text{recebe}} = t + 26,00.
Substituindo t\approx 26,263:
t_{\text{recebe}} \approx 26,263 + 26,00 = 52,263\\ \text{anos}.

Passo 4

Calcular o tempo de viagem medido pelo relógio de bordo (parte c — primeiro passo: achar o tempo próprio do astronauta).
Explicação das fórmulas: o tempo próprio \tau (o tempo medido no relógio a bordo) entre dois eventos que, no referencial da Terra, duram um intervalo t, é dado pela dilatação do tempo:
\tau = \frac{t}{\gamma},
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}
é o fator de Lorentz. Aqui:
  • t é o tempo medido na Terra entre partida e chegada,
  • \tau é o tempo medido no barco (tempo próprio),
  • v é a velocidade do barco,
  • c é a velocidade da luz.
Calcular \gamma para v=0,99\,c:
1-\frac{v^{2}}{c^{2}} = 1 - (0,99)^{2} = 1 - 0,9801 = 0,0199.
\sqrt{0,0199} \approx 0,1410673598.
\gamma = \frac{1}{0,1410673598} \approx 7,088812.
Agora calcular \tau:
\tau = \frac{t}{\gamma} \approx \frac{26,263}{7,088812} \approx 3,707\\ \text{anos}.
Observação didática (checagem alternativa usando contração de comprimentos): no referencial do astronauta a distância até Vega está contraída para
d'=\frac{d}{\gamma}=\frac{26,00}{7,088812}\approx 3,668\\ \text{anos-luz}.
O tempo que esse astronauta mede para atravessar essa distância a velocidade v=0,99c (medido em anos, já que anos-luz / c = anos) é
\tau=\frac{d'}{v/c}=\frac{26,00/\gamma}{0,99}=\frac{26,00}{0,99\,\gamma},
que leva ao mesmo valor numérico já encontrado (aproximadamente 3,707 anos). Isso confirma o cálculo por dilatação do tempo.

Passo 5

Calcular a diferença pedida em (c): tempo da Terra menos tempo de bordo.
Temos:
t_{\text{Terra}}\approx 26,263\\ \text{anos},
\tau_{\text{bordo}}\approx 3,707\\ \text{anos}.
A diferença é
\Delta t = t_{\text{Terra}} - \tau_{\text{bordo}} \approx 26,263 - 3,707 = 22,556\\ \text{anos}.
Interpretação rápida e incentivo: ou seja, para quem fica na Terra passaram-se cerca de 26,26 anos até a chegada, enquanto o astronauta sentiu apenas cerca de 3,71 anos — uma bela poupança de tempo para o viajante! Dá pra acreditar? Eu também acho legal — e meio maluco.

Resposta

(a) 26,263\\ \text{anos}
(b) 52,263\\ \text{anos}
(c) 22,556\\ \text{anos}

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