-e15 Um astronauta parte da Terra e viaja com uma velocidade de
em direção à estrela Vega, que está a 26,00 anos-luz de distância. Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, (a) quando o astronauta chegar a Vega; (b) quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega? (c) Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
- Velocidade do astronauta:
. - Distância Terra–Vega medida em repouso da Terra:
anos-luz.
Perguntas:
(a) Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, quando o astronauta chegar a Vega?
(b) Quando os observadores terrestres receberão a notícia de que o astronauta chegou a Vega?
(c) Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?
(a) Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios da Terra, quando o astronauta chegar a Vega?
(b) Quando os observadores terrestres receberão a notícia de que o astronauta chegou a Vega?
(c) Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo?
Passo 2
Calcular o tempo de viagem medido pelos relógios da Terra (parte a).
Explicação da ideia/fórmula: em um referencial onde a distância entre Terra e Vega é
e o viajante vai a velocidade
, o tempo medido nesse referencial é dado por
Aqui usamos anos-luz para distância e
para velocidade da luz, então se
está em anos-luz e
em fração de
, o resultado vem em anos.
Aplicando os valores:
Fazendo a divisão passo a passo:
-
cabe em um total de aproximadamente .
Arredondando para três casas decimais:
Passo 3
Calcular quando a Terra recebe a notícia (parte b).
Explicação da ideia: a chegada do astronauta a Vega ocorre, no tempo da Terra, em
(calculado acima). A notícia (sinal luminoso) viaja de Vega até a Terra à velocidade
, percorrendo a mesma distância
anos-luz, então leva mais
anos — ou simplesmente
anos no referencial da Terra.
Portanto o instante em que a Terra recebe a notícia é
Substituindo
:
Passo 4
Calcular o tempo de viagem medido pelo relógio de bordo (parte c — primeiro passo: achar o tempo próprio do astronauta).
Explicação das fórmulas: o tempo próprio
(o tempo medido no relógio a bordo) entre dois eventos que, no referencial da Terra, duram um intervalo
, é dado pela dilatação do tempo:
onde
é o fator de Lorentz. Aqui:
-
é o tempo medido na Terra entre partida e chegada, -
é o tempo medido no barco (tempo próprio), -
é a velocidade do barco, -
é a velocidade da luz.
Calcular
para
:
Agora calcular
:
Observação didática (checagem alternativa usando contração de comprimentos): no referencial do astronauta a distância até Vega está contraída para
O tempo que esse astronauta mede para atravessar essa distância a velocidade
(medido em anos, já que anos-luz / c = anos) é
que leva ao mesmo valor numérico já encontrado (aproximadamente
anos). Isso confirma o cálculo por dilatação do tempo.
Passo 5
Calcular a diferença pedida em (c): tempo da Terra menos tempo de bordo.
Temos:
A diferença é
Interpretação rápida e incentivo: ou seja, para quem fica na Terra passaram-se cerca de
anos até a chegada, enquanto o astronauta sentiu apenas cerca de
anos — uma bela poupança de tempo para o viajante! Dá pra acreditar? Eu também acho legal — e meio maluco.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)