Centróide e centro de gravidade para uma placa plana não-homogênea são pontos coincidentes espacialmente? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, numa placa plana com densidade variável \rho(x,y), o centróide (centro geométrico) e o centro de gravidade (centro de massa) coincidem espacialmente. O conteúdo envolve conceitos de cálculo de momentos de área e de massa, e vamos precisar das definições de cada um para comparar.

Passo 2

O centróide de uma região R no plano é o ponto (\bar{x},\bar{y}) dado por
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint_{R}x\,dA,
\bar{y}=\frac{1}{A}\iint_{R}y\,dA,
onde
A=\iint_{R}dA
é a área total de R. Observe que essa definição não envolve densidade, pois supõe-se distribuição uniforme de “peso geométrico”.

Passo 3

O centro de gravidade (ou centro de massa) de uma lâmina de densidade \rho(x,y) é o ponto (x_G,y_G) dado por
x_G=\frac{1}{M}\iint_{R}x\,\rho(x,y)\,dA,
y_G=\frac{1}{M}\iint_{R}y\,\rho(x,y)\,dA,
em que
M=\iint_{R}\rho(x,y)\,dA
é a massa total da lâmina. Aqui cada ponto contribui proporcionalmente à sua densidade local.

Passo 4

Comparando as fórmulas, vemos que se \rho(x,y) for constante (placa homogênea) então
\rho(x,y)=\rho_0 \quad\Longrightarrow\quad x_G=\frac{1}{M}\iint x\,\rho_0\,dA =\frac{1}{A}\iint x\,dA=\bar{x},
e de modo análogo y_G=\bar{y}. Mas se \rho varia, os pesos em cada região mudam o resultado dos integrais com \rho, de modo que geralmente
(x_G,y_G)\neq(\bar{x},\bar{y}).

Resposta

Não. Num placa não homogênea o centróide (que ignora a variação de densidade) e o centro de gravidade (que é ponderado por \rho(x,y)) só coincidem se a densidade for constante.

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