Centróide e centro de gravidade para uma placa plana não-homogênea são pontos coincidentes espacialmente? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se, numa placa plana com densidade variável
, o centróide (centro geométrico) e o centro de gravidade (centro de massa) coincidem espacialmente. O conteúdo envolve conceitos de cálculo de momentos de área e de massa, e vamos precisar das definições de cada um para comparar.
Passo 2
O centróide de uma região
no plano é o ponto
dado por
onde
é a área total de
. Observe que essa definição não envolve densidade, pois supõe-se distribuição uniforme de “peso geométrico”.
Passo 3
O centro de gravidade (ou centro de massa) de uma lâmina de densidade
é o ponto
dado por
em que
é a massa total da lâmina. Aqui cada ponto contribui proporcionalmente à sua densidade local.
Passo 4
Comparando as fórmulas, vemos que se
for constante (placa homogênea) então
e de modo análogo
. Mas se
varia, os pesos em cada região mudam o resultado dos integrais com
, de modo que geralmente
Resposta
Não. Num placa não homogênea o centróide (que ignora a variação de densidade) e o centro de gravidade (que é ponderado por
) só coincidem se a densidade for constante.