A força horizontal de 20 N atua sobre o cabo da chave de soquete. Qual é o momento dessa força em relação ao ponto B ? Especifique os ângulos diretores coordenados \alpha, \beta, \gamma do eixo do momento.A força horizontal de 20 N atua sobre o cabo da chave de soquete. Determine o momento dessa força em relação ao ponto O. Especifique os ângulos diretores coordenados \alpha, \beta, \gamma do eixo do momento.

Passo 1

O enunciado descreve uma chave de soquete articulada cujos pontos de interesse são:
  • O: base da haste (origem do sistema), com z=0.
  • B: eixo de articulação da chave, em (0,0,50\\ \text{mm}).
  • A: ponto de aplicação da força, a 200\\ \text{mm} de B ao longo do braço e 10\\ \text{mm} acima da linha central do braço.
    A força de 20\\ \text{N} atua em A, numa direção contida no plano do braço (o plano y z), fazendo ângulo de 60^\circ acima da horizontal (eixo y). Precisamos determinar os momentos
\mathbf{M}_{B}=\mathbf{r}_{BA}\times\mathbf{F} \quad\text{e}\quad \mathbf{M}_{O}=\mathbf{r}_{OA}\times\mathbf{F}
e os ângulos diretores coordenados \alpha,\beta,\gamma de cada vetor momento.

Passo 2

Expressão vetorial dos vetores posição (em metros) e da força:
\mathbf{r}_{BA}=\bigl(0,\;0{,}200,\;0{,}010\bigr)\,\text{m}, \quad \mathbf{r}_{OA}=\bigl(0,\;0{,}200,\;0{,}060\bigr)\,\text{m}.
Como \mathbf{F} tem magnitude 20\\ \text{N} e ângulo de 60^\circ acima da horizontal, sua componente horizontal (eixo y) é
F_{y}=20\cos60^\circ=10\\ \text{N},
e sua componente vertical (eixo z) é
F_{z}=20\sin60^\circ=10\sqrt3\\ \text{N}.
Logo
\mathbf{F}=(0,\;10,\;10\sqrt3)\,\text{N}.

Passo 3

Cálculo de \mathbf{M}_{B}=\mathbf{r}_{BA}\times\mathbf{F}. Usando a regra do produto vetorial,
M_{B,x} = r_{y}\,F_{z}-r_{z}\,F_{y} =0{,}200\cdot10\sqrt3-0{,}010\cdot10 =2\sqrt3-0{,}1\approx3{,}364\\ \text{N\cdotm},
e
M_{B,y}=r_{z}F_{x}-r_{x}F_{z}=0, \quad M_{B,z}=r_{x}F_{y}-r_{y}F_{x}=0.
Portanto
\mathbf{M}_{B}=(3{,}364,\;0,\;0)\,\text{N\cdotm}.

Passo 4

Magnitude e ângulos diretores de \mathbf{M}_{B}:
\|\mathbf{M}_{B}\|=3{,}364\\ \text{N\cdotm}, \quad \cos\alpha=\frac{M_{B,x}}{\|\mathbf{M}_{B}\|}=1, \quad \cos\beta=0, \quad \cos\gamma=0.
Logo
\alpha=0^\circ,\quad \beta=90^\circ,\quad \gamma=90^\circ.

Passo 5

Cálculo de \mathbf{M}_{O}=\mathbf{r}_{OA}\times\mathbf{F}:
M_{O,x} = r_{y}\,F_{z}-r_{z}\,F_{y} =0{,}200\cdot10\sqrt3-0{,}060\cdot10 =2\sqrt3-0{,}6\approx2{,}864\\ \text{N\cdotm},
e M_{O,y}=M_{O,z}=0. Assim
\mathbf{M}_{O}=(2{,}864,\;0,\;0)\,\text{N\cdotm}.

Passo 6

Magnitude e ângulos diretores de \mathbf{M}_{O}:
\|\mathbf{M}_{O}\|=2{,}864\\ \text{N\cdotm}, \quad \cos\alpha=1, \quad \cos\beta=0, \quad \cos\gamma=0,
logo
\alpha=0^\circ,\quad \beta=90^\circ,\quad \gamma=90^\circ.

Resposta

Momento em relação a B:
\mathbf{M}_{B}=(3{,}364,\;0,\;0)\,\text{N\cdotm},\quad \alpha=0^\circ,\;\beta=90^\circ,\;\gamma=90^\circ.
Momento em relação a O:
\mathbf{M}_{O}=(2{,}864,\;0,\;0)\,\text{N\cdotm},\quad \alpha=0^\circ,\;\beta=90^\circ,\;\gamma=90^\circ.

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