O centróide ( xc, yc ) de uma região da forma R=(x, y) in R^2 ; a <= x <= b, f(x) <= y <= g(x), onde f e g são funções contínuas e f(x) <= g(x) em [a, b], é dado por
xc=1A integrala^b x[g(x)-f(x)] d x e yc=12 A integrala^b[g(x)-f(x)][g(x)+f(x)] d x,
sendo A a área da região R. Com base nessas informações, encontre o centro de massa (centróide ou centro de gravidade) das seguintes regiões planas:
(a) Região no primeiro quadrante, delimitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1. Resposta: (4 a3 pi, 4 b3 pi).

Passo 1

O enunciado pede o centróide da região no primeiro quadrante limitada pela elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
Aqui temos uma região do tipo
R = (x,y)colon 0 <= x <= a,;0 <= y <= g(x),
com
f(x)=0, g(x)=braiz1-x^2a^2
Para usar as fórmulas
xc=1Aintegral0^ax,[g(x)-f(x)],dx, yc=12Aintegral0^a[g(x)-f(x)],[g(x)+f(x)],dx,
precisamos primeiro calcular a área A da região.

Passo 2

A região é um quarto de elipse de semi-eixos a e b, então
A = pi a b4

Passo 3

Calculamos xc:
xc =1Aintegral0^ax,g(x),dx =1(pi ab/4)integral0^ax;braiz1-x^2a^2,dx
Fazendo a substituição
u=1-x^2a^2,
,du=-2xa^2dx,
temos
integral0^axraiz1-x^2a^2,dx =a^22integral1^0u^12(-du) =a^22integral0^1u^12du =a^22cdot23 =a^23
Logo,
integral0^ax,g(x),dx =bcdota^23 Longrightarrow xc =1(pi ab/4);ba^23 =4a3pi

Passo 4

Calculamos yc:
yc =12Aintegral0^ag(x)^2,dx =12(pi ab/4)integral0^ab^2l(1-x^2a^2r),dx
Agora
integral0^al(1-x^2a^2r)dx =l[x-x^33a^2r]0^a =a-a3 =2a3,
portanto
integral0^ag(x)^2dx =b^22a3 Longrightarrow yc =1(pi ab/2);b^22a3 =4b3pi

Resposta

l(xc,ycr) =l(tfrac4a3pi,,tfrac4b3pir)

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