Se ao invés de y=f(x), a curva for dada por uma equação da forma x=g(y), com c <= y <= d, sendo g^prime contínua em [c, d], então a fórmula para o comprimento de arco de g, no intervalo em questão, é dada por
L=integralc^d raiz1+[g^prime(y)]^2 d y
Com base nessa informação, calcule o comprimento da curva x=y^33+14 y, de y=1 a y=3. Resposta: 536.

Passo 1

Estamos com a curva dada por x = g(y) = y^33 + 14y no intervalo y ∈ [1,3] e queremos calcular o comprimento de arco usando a fórmula
L = integralc^d raiz1 + [g'(y)]^2,dy
onde g′ é contínua em [1,3].

Passo 2

Vamos encontrar a derivada g′(y). Como g(y) = y^33 + 14y, aplicamos regras de derivação:
g'(y) = y^2 - 14y^2

Passo 3

Montamos o integrando 1 + [g′(y)]²:
1 + l(y^2 - 14y^2r)^2 = 1 + l(y^4 - tfrac12 + tfrac116y^4r) = y^4 + tfrac12 + tfrac116y^4
Observamos que isso é exatamente o quadrado de y^2 + 14y^2, pois
l(y^2 + tfrac14y^2r)^2 = y^4 + 2cdot y^2cdottfrac14y^2 + tfrac116y^4 = y^4 + tfrac12 + tfrac116y^4

Passo 4

Portanto o integrando simplifica para
raiz1 + [g'(y)]^2 = y^2 + 14y^2
Então
L = integral1^3 l(y^2 + 14y^2r) dy = integral1^3 y^2 dy + 14 integral1^3 y^-2 dy

Passo 5

Calculamos cada integral separadamente:
integral y^2 dy = y^33,
integral y^-2 dy = -1y
Logo
L = l[y^33r]1^3 + 14 l[-1yr]1^3 = l(9 - 112r) - l(13 - 14r) = 536

Resposta

53/6

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