Se ao invés de
, a curva for dada por uma equação da forma
, com
, sendo
contínua em
, então a fórmula para o comprimento de arco de
, no intervalo em questão, é dada por
Com base nessa informação, calcule o comprimento da curva
, de
a
. Resposta:
.
Passo 1
Estamos com a curva dada por x = g(y) =
no intervalo y ∈ [1,3] e queremos calcular o comprimento de arco usando a fórmula
onde g′ é contínua em [1,3].
Passo 2
Vamos encontrar a derivada g′(y). Como g(y) =
, aplicamos regras de derivação:
Passo 3
Montamos o integrando 1 + [g′(y)]²:
Observamos que isso é exatamente o quadrado de
, pois
Passo 4
Portanto o integrando simplifica para
Então
Passo 5
Calculamos cada integral separadamente:
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Resposta
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