Seja f uma função com derivada contínua em [a, b]. Sabendo que o comprimento L da curva y=f(x), com a <= x <= b, é dado por
L=integrala^b raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas retangulares (cartesianas):
(f) y=12(e^x+e^-x), de x=0 a x=1. Resposta: 12 e(e^2-1).

Passo 1

Nesse exercício, queremos achar o comprimento da curva definida por y= tfrac12(e^x+e^-x) no intervalo xin[0,1]. O conteúdo é comprimento de arco de funções com derivada contínua, e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^braiz1+[f'(x)]^2,dx
além de calcular a derivada de y.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de y. Como
y=tfrac12(e^x+e^-x)
então
y'=tfrac12(e^x - e^-x)
Agora vamos ao quadrado dessa derivada para usar na fórmula.

Passo 3

Vamos formar o termo dentro da raiz:
1+[y']^2 = 1 + l(tfrac12(e^x - e^-x)r)^2 = 1 + tfrac14(e^2x - 2 + e^-2x)
Agrupando termos:
1+[y']^2 = tfrac14l(e^2x+2+e^-2xr) = l(tfrac12(e^x+e^-x)r)^2 = [y]^2
Logo,
raiz1+[y']^2 = |y| = y
pois y>0 no intervalo dado.

Passo 4

Com isso, o comprimento fica
L = integral0^1 raiz1+[y']^2,dx = integral0^1 y,dx = integral0^1 tfrac12(e^x+e^-x),dx
Dividindo a integral:
L = tfrac12l(integral0^1 e^x,dx + integral0^1 e^-x,dxr)

Passo 5

Agora basta calcular as integrais:
integral0^1 e^x,dx = e^1 - e^0 = e - 1
integral0^1 e^-x,dx = -e^-x|0^1 = -(e^-1-1) = 1-tfrac1e
Então
L = tfrac12l((e-1)+(1-tfrac1e)r) = tfrac12l(e-tfrac1er)

Resposta

L=tfrac12e(e^2-1)

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