Seja
uma função com derivada contínua em
. Sabendo que o comprimento
da curva
, com
, é dado por
calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas retangulares (cartesianas):
(f)
, de
a
. Resposta:
.
(f)
Passo 1
Nesse exercício, queremos achar o comprimento da curva definida por y=
no intervalo
. O conteúdo é comprimento de arco de funções com derivada contínua, e vamos precisar usar a fórmula
além de calcular a derivada de y.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de y. Como
então
Agora vamos ao quadrado dessa derivada para usar na fórmula.
Passo 3
Vamos formar o termo dentro da raiz:
Agrupando termos:
Logo,
pois y>0 no intervalo dado.
Passo 4
Com isso, o comprimento fica
Dividindo a integral:
Passo 5
Agora basta calcular as integrais:
Então