Responda o que se pede em cada item:
Seja A um anel de integridade. Se a b=a c, \operatorname{com} c \neq 0, então b=c.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Dado um anel A que é anel de integridade.
  • Supõe-se que \,a b = a c\, e que \,c \neq 0\,.
    Pergunta-se se disso se segue que \,b = c\,.

Passo 2

O que significa “anel de integridade” e por que isso importa (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Diz-se que A é um anel de integridade quando é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero.
  • “Sem divisores de zero” quer dizer que, se x,y\in A e x y = 0, então necessariamente x=0 ou y=0. Não existem elementos não nulos cujo produto seja zero.
    Essa propriedade é a chave para a chamada lei do cancelamento: em anéis de integridade podemos “cancelar” um fator não nulo em uma igualdade do tipo a b = a c, mas atenção: é preciso que o fator que se queira cancelar seja diferente de zero.

Passo 3

Provar a forma correta da propriedade de cancelamento (mostrando também por que a hipótese correta envolve a, não c).
  • Suponha que A é anel de integridade e que a\neq 0. Começando de a b = a c, subtrai-se a c de ambos os lados para obter
a b - a c = 0.
  • Fatorando a do lado esquerdo:
a(b-c) = 0.
  • Como A não tem divisores de zero e a\neq 0, a única maneira de a(b-c)=0 ocorrer é que b-c=0. Portanto b-c=0, ou seja,
b = c.
Conclusão: a forma correta é: se A é anel de integridade e a\neq 0 e a b = a c, então b=c.

Passo 4

Mostrar que a afirmação dada no enunciado (que usa a hipótese c\neq 0 em vez de a\neq 0) é falsa, com um contraexemplo explícito e simples. (Aqui mostramos por que a hipótese c\neq 0 não garante cancelamento.)
  • Tome A=\mathbb{Z}, que é um anel de integridade. Escolha
a=0,\qquad b=1,\qquad c=2.
  • Observa-se que c\neq 0 (de fato c=2), e
a b = 0\cdot 1 = 0,\qquad a c = 0\cdot 2 = 0,
logo a b = a c. Mas claramente b\neq c porque 1\neq 2.
Portanto a afirmação do enunciado ("se a b = a c com c\neq 0 então b=c") é falsa: o contraexemplo acima satisfaz todas as hipóteses do enunciado e ainda assim b\neq c.

Passo 5

Comentário final, intuição e como consertar a afirmação para usá-la numa prova.
  • Intuitivamente: cancelar um fator numa igualdade requer que esse fator não “anule” a igualdade por ser zero; por isso a hipótese necessária é a\neq 0, não c\neq 0.
  • Também vale notar que, se o anel tivesse divisores de zero, mesmo com a\neq 0 a conclusão poderia falhar (um exemplo em \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}: 2\cdot 1 = 2\cdot 4 com 2\neq 0 no anel, mas 1\neq 4; aí 2 é divisor de zero).
  • Resumindo: para aplicar cancelamento em provas, sempre verifique (i) que o anel não tem divisores de zero (anel de integridade) e (ii) que o elemento que se quer cancelar é diferente de zero.

Resposta

Falso. Contraexemplo: em A=\mathbb{Z} tome a=0, b=1, c=2. Então c\neq0 e ab=ac mas b\neq c.

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