Responda o que se pede em cada item:
Seja
um anel de integridade. Se
, então
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Dado um anel
que é anel de integridade. - Supõe-se que
e que .
Pergunta-se se disso se segue que.
Passo 2
O que significa “anel de integridade” e por que isso importa (explicação passo a passo, sem pular etapas).
- Diz-se que
é um anel de integridade quando é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. - “Sem divisores de zero” quer dizer que, se
e , então necessariamente ou . Não existem elementos não nulos cujo produto seja zero.
Essa propriedade é a chave para a chamada lei do cancelamento: em anéis de integridade podemos “cancelar” um fator não nulo em uma igualdade do tipo, mas atenção: é preciso que o fator que se queira cancelar seja diferente de zero.
Passo 3
Provar a forma correta da propriedade de cancelamento (mostrando também por que a hipótese correta envolve
, não
).
- Suponha que
é anel de integridade e que . Começando de , subtrai-se de ambos os lados para obter
- Fatorando
do lado esquerdo:
- Como
não tem divisores de zero e , a única maneira de ocorrer é que . Portanto , ou seja,
Conclusão: a forma correta é: se
é anel de integridade e
e
, então
.
Passo 4
Mostrar que a afirmação dada no enunciado (que usa a hipótese
em vez de
) é falsa, com um contraexemplo explícito e simples. (Aqui mostramos por que a hipótese
não garante cancelamento.)
- Tome
, que é um anel de integridade. Escolha
- Observa-se que
(de fato ), e
logo
. Mas claramente
porque
.
Portanto a afirmação do enunciado ("se com
então
") é falsa: o contraexemplo acima satisfaz todas as hipóteses do enunciado e ainda assim
.
Portanto a afirmação do enunciado ("se
Passo 5
Comentário final, intuição e como consertar a afirmação para usá-la numa prova.
- Intuitivamente: cancelar um fator numa igualdade requer que esse fator não “anule” a igualdade por ser zero; por isso a hipótese necessária é
, não . - Também vale notar que, se o anel tivesse divisores de zero, mesmo com
a conclusão poderia falhar (um exemplo em : com no anel, mas ; aí é divisor de zero). - Resumindo: para aplicar cancelamento em provas, sempre verifique (i) que o anel não tem divisores de zero (anel de integridade) e (ii) que o elemento que se quer cancelar é diferente de zero.
Resposta
Falso. Contraexemplo: em
tome
,
,
. Então
e
mas
.