Uma cepa de Azotobacter vinelandii é cultivada em um fermentador agitado de 15 \mathrm{~m}^{3} para produção de alginato. Nas condições operacionais atuais, \mathrm{k}_{\mathrm{L}} a é de 0,17 \mathrm{~s}^{-1}. A solubilidade do oxigênio no caldo é de aproximadamente 8 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}.
a) A taxa específica de consumo de oxigênio é 12,5 \mathrm{mmol} \mathrm{g}^{-1} \mathrm{~h}^{-1}. Qual é a concentração celular máxima possível? (Resp.: \mathrm{X}_{\text {máx }}=12,25 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}á )
b) As bactérias sofrem inibição do crescimento após a adição acidental de sulfato de cobre ao caldo de fermentação. Isso causa uma redução na taxa de absorção de oxigênio para 3 mmol \mathrm{g}^{-1} \mathrm{~h}^{-1}. Qual concentração máxima de células pode agora ser suportada pelo fermentador? (Resp.: \mathrm{X}_{\text {máx }}=51 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}á )

Passo 1

O enunciado trata da transferência de oxigênio em um biorreator agitado de 15\\ \mathrm{m^3} cultivando Azotobacter vinelandii. Temos coeficiente de transferência volumétrica de oxigênio k_L a = 0,17\\ \mathrm{s^{-1}} e solubilidade do oxigênio no meio C^*=8\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}. A ideia é encontrar a concentração celular máxima X_{\max} que o biorreator consegue manter sob limitação de oxigênio, igualando a taxa de transferência de oxigênio (OTR) à taxa de consumo (OUR).

Passo 2

Em regime estacionário e assumindo que a concentração de oxigênio dissolvido na fase líquida C_L se aproxime de zero, a balança de oxigênio é
k_L a\,(C^* - C_L)\,V \;=\; q_{O_2}\,X\,V
como C_L\approx0 e V cancela, isolamos
X_{\max} \;=\;\frac{k_L a\,C^*}{q_{O_2}}.

Passo 3

Para o item (a), a taxa específica de consumo é
q_{O_2}=12{,}5\;\mathrm{mmol\,g^{-1}\,h^{-1}}.
Fazemos a conversão passo a passo:
\bullet 12{,}5\\ \mathrm{mmol} =12{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{mol} por grama de célula por hora.
\bullet Cada mol de O _2 pesa 32\\ \mathrm{g}=0,032\\ \mathrm{kg}.
\bullet Assim, em massa de O _2:
12{,}5\times10^{-3}\times0,032 =4,0\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\,O_2\;g^{-1}\,h^{-1}}.
\bullet Para converter por quilo de célula e por segundo:
q_{O_2} = \frac{4,0\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\,g^{-1}\,h^{-1}}}{1\,\mathrm{g}=10^{-3}\,\mathrm{kg}}\times\frac{1}{3600\,\mathrm{s}} =1{,}11\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\,kg^{-1}\,s^{-1}}.
Agora aplicamos a fórmula:
X_{\max} = \frac{0,17\;\mathrm{s^{-1}}\times8{,}0\times10^{-3}\;\mathrm{kg\,m^{-3}}} {1{,}11\times10^{-4}\;\mathrm{kg\,kg^{-1}\,s^{-1}}} =12{,}25\;\mathrm{kg\,m^{-3}}.

Passo 4

Para o item (b), q_{O_2}=3\\ \mathrm{mmol\,g^{-1}\,h^{-1}}. Repetindo a conversão:
\bullet 3\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,g^{-1}\,h^{-1}}\times0,032\\ \mathrm{kg/mol}=9,6\times10^{-5}\\ \mathrm{kg\,g^{-1}\,h^{-1}}.
\bullet Em \mathrm{kg\,kg^{-1}\,s^{-1}}:
q_{O_2} = \frac{9,6\times10^{-5}}{10^{-3}}\times\frac{1}{3600} =2{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{kg\,kg^{-1}\,s^{-1}}.
Então
X_{\max} = \frac{0,17\times8{,}0\times10^{-3}}{2{,}67\times10^{-5}} =51\;\mathrm{kg\,m^{-3}}.

Resposta

X_{\max} (a) =12{,}25\;\mathrm{kg\,m^{-3}} X_{\max} (b) =51\;\mathrm{kg\,m^{-3}}

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