As condições de operação de um reator de 50 L são escalonadas para um reator de 10 \mathrm{~m}^{3} geometricamente similar ao reator menor. O Sistema não é gaseificado, o reator menor opera a 400 rpm. Considerando como critério de escalonamento \mathrm{P} / \mathrm{V} constante, estime os aumentos:
a) Na potência consumida §. (Resp. \mathrm{P}_{2}=200 \mathrm{P}_{1} )
b) Na frequência de rotação do agitador (N). (Resp. \mathrm{N}_{2}=0,308 \mathrm{~N}_{1} )
c) Na velocidade na extremidade do impelidor \left(\mathrm{v}_{\text {tip }}\right) .\left(\operatorname{Resp} .\left(\mathrm{v}_{\text {tip }}\right)_{2}=1,8\left(\mathrm{v}_{\text {tip }}\right)_{1}\right)

Passo 1

O enunciado trata do escalonamento geométrico de um biorreator de 50\\ \mathrm{L} para outro de 10\\ \mathrm{m}^3 (isto é, 10000\\ \mathrm{L}), sem gaseificação, mantendo o critério de potência por volume \mathrm{P}/V constante. Precisamos usar as leis de similaridade:
– Potência de agitação \mathrm{P}\propto \rho\,N^3D^5 e volume V\propto D^3.
– Velocidade na ponta do impelidor v_{\text{tip}}\propto D\,N.

Passo 2

Calcular os fatores de escala entre os reatores.
Volume menor V_1=50\\ \mathrm{L}, volume maior V_2=10000\\ \mathrm{L}.
S = \frac{V_2}{V_1} = \frac{10000}{50} = 200.
Como são geometricamente similares, o diâmetro do impelidor escala como
\frac{D_2}{D_1} = S^{1/3} = 200^{1/3}.

Passo 3

Escalonando a potência com \mathrm{P}/V constante:
\frac{P_1}{V_1} \;=\;\frac{P_2}{V_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{P_2}{P_1} = \frac{V_2}{V_1} = S = 200.

Passo 4

Derivar a nova rotação N_2. Como
P/V \propto N^3D^2,
temos
N_1^3D_1^2 = N_2^3D_2^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{N_2}{N_1} = \Bigl(\frac{D_1}{D_2}\Bigr)^{2/3} = \Bigl(S^{-1/3}\Bigr)^{2/3} = S^{-2/9}.
Numericamente,
\frac{N_2}{N_1} = 200^{-2/9}\approx 0{,}308.

Passo 5

Escalonar a velocidade do ponta do impelidor v_{\text{tip}} = \pi D N (proporcional a D\,N). Logo,
\frac{(v_{\text{tip}})_2}{(v_{\text{tip}})_1} = \frac{D_2}{D_1}\,\frac{N_2}{N_1} = S^{1/3}\,S^{-2/9} = S^{1/9} = 200^{1/9}\approx 1{,}80.

Resposta

a) \displaystyle P_2 = 200\,P_1
b) \displaystyle N_2 = 0{,}308\,N_1
c) \displaystyle (v_{\text{tip}})_2 = 1{,}8\,(v_{\text{tip}})_1

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