Uma laje de piso em concreto armado tem barras de aço de 16 mm de diâmetro posicionadas ao longo da face inferior da laje, com espaçamento entre elas de 150 mm de eixo a eixo. O módulo de elasticidade do concreto é de 25 GPa e o módulo de elasticidade do aço é de 205 GPa. Sabendo que é aplicado um momento fletor de 4,5 kNm a cada 300 mm de largura da laje, determine as tensões máximas no concreto e na armadura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma laje de concreto armado com barras de aço e quer descobrir quais são as tensões máximas no concreto e no aço quando um momento fletor está sendo aplicado. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre como materiais compostos como o concreto e o aço se comportam quando sujeitos a flexão. Precisaremos usar as informações sobre os módulos de elasticidade de cada material e as dimensões das barras para calcular as tensões máximas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o momento fletor está fazendo com a laje. O momento fletor causa flexão, ou seja, faz com que uma parte da laje fique comprimida (no concreto) e a outra parte fique esticada (nas barras de aço).
Dado:
  • Diâmetro das barras de aço: 16 mm
  • Espaçamento entre as barras: 150 mm (centro a centro)
  • Módulo de elasticidade do concreto, $ E_c = 25 , GPa $
  • Módulo de elasticidade do aço, $ E_s = 205 , GPa $
  • Momento fletor aplicado, $ M = 4,5 , kNm $ a cada 300 mm de largura da laje

Passo 3

Vamos calcular a área da barra de aço. O diâmetro é 16 mm, então o raio $ r $ é 8 mm. A área $ A_s $ é:
r

Passo 4

Agora, precisamos calcular a quantidade de barras de aço por metro de largura da laje. Com espaçamento de 150 mm, temos:
n = 1000 , mm150 , mm approx 6,67 barras por metro
Então, a área total de aço por metro de largura é:
As,total = n times As = 6,67 times 201,06 approx 1341,42 , mm^2/m

Passo 5

Vamos converter o momento fletor de kNm para Nmm para facilitar as contas:
M = 4,5 , kNm = 4,5 times 10^6 , Nmm

Passo 6

Assumindo que o concreto está comprimido e o aço está em tração, a seção neutra estará deslocada. Para simplificar, vamos considerar que a tensão no concreto $ \sigma_c $ e no aço $ \sigma_s $ são proporcionais aos seus módulos de elasticidade.
A relação entre as tensões é:
sigmac

Passo 7

O momento fletor é distribuído entre o concreto e o aço. Então:
M = sigmac times Ac times d + sigmas times As times (d - a)
Para simplificar, vamos considerar $ A_c \times d $ constante e focar na proporção das tensões. Com a relação de 8,2 entre $ \sigma_s $ e $ \sigma_c $, podemos resolver para $ \sigma_c $ e depois para $ \sigma_s $.

Passo 8

A soma das contribuições de momento é proporcional às áreas e tensões:
M = sigmac times Ac times d + 8,2 times sigmac times As times d
Fatorando $ \sigma_c \times d $:
sigmac times d
Vamos supor $ A_c = 1 , m $ de largura, então $ A_c = $ dependeria da altura da seção, mas para simplificação, vamos resolver proporcionalmente.

Passo 9

Isolando $ \sigma_c $:
sigmac
Sem os valores de $ d $ e $ A_c $, precisamos fazer uma simplificação ou assumir valores típicos. Para este exercício, vamos assumir que a altura útil da laje $ d $ é 300 mm.

Passo 10

Substituindo os valores:
sigmac = 4,5 times 10^6300 times (1000 + 8,2 times 1341,42) approx 4,5 times 10^6300 times (1000 + 10978) approx 4,5 times 10^6300 times 11978 approx 4,5 times 10^63,5934 times 10^6 approx 1,25 , N/mm^2

Passo 11

Agora, calculamos $ \sigma_s $ usando a relação:
sigmas

Resposta

As tensões máximas na laje são aproximadamente 1,25 N/mm² no concreto e 10,25 N/mm² na armadura de aço.

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