Uma cerca de altura h está a uma distância d da parede lateral de uma casa. Calcule o comprimento mínimo de uma escada que se apóia na parede e no chão, do lado de fora da cerca.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma cerca de altura h situada a uma distância d da parede de uma casa, e queremos o comprimento mínimo de uma escada que apóia no chão do lado de fora da cerca e encosta na parede do lado de dentro. O conteúdo principal é otimização de uma função, e vamos precisar montar uma expressão para o comprimento da escada em função de uma variável geométrica e depois minimizar essa função.

Passo 2

Para modelar, colocamos um sistema de coordenadas com a base da cerca em (0,0), o muro em x=d (eixos: x horizontal, y vertical). Seja a>0 a distância da base da cerca até o pé da escada (na direção negativa do eixo x), ou seja, o pé da escada em (-a,0). A escada encosta no muro em (d,Y) e passa pelo topo da cerca em (0,h). Como os três pontos são colineares, a reta da escada tem coeficiente angular m=Y-0d-(-a)=Yd+a, e deve satisfazer
h = mcdot (0-(-a)) = Yd+a,a Longrightarrow Y=h,(d+a)a

Passo 3

O comprimento da escada é a distância entre (-a,0) e (d,Y). Logo
L^2 = (d+a)^2 + Y^2 = (d+a)^2 + l(h(d+a)ar)^2 = (d+a)^2a^2+h^2a^2

Passo 4

Para achar o mínimo, é mais fácil minimizar L^2(a) = (d+a)^2,(a^2+h^2)/a^2. Fazendo ddal(L^2r)=0 (ou derivando o logaritmo) obtemos a condição
$$a^3 = d,h^2 \quad\Longrightarrow\quad a = (d,h2){1/3} = d{1/3}h{2/3}.
$$

Passo 5

Finalmente, substituímos esse a em L^2. Verifica-se que
Lmin^2 = l(d^2/3+h^2/3r)^3,

Passo 6

logo o comprimento mínimo da escada é no passo seguinte.

Resposta

Lmin = (d^2/3 + h^2/3)^3/2

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