Uma cerca de altura
está a uma distância
da parede lateral de uma casa. Calcule o comprimento mínimo de uma escada que se apóia na parede e no chão, do lado de fora da cerca.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma cerca de altura
situada a uma distância
da parede de uma casa, e queremos o comprimento mínimo de uma escada que apóia no chão do lado de fora da cerca e encosta na parede do lado de dentro. O conteúdo principal é otimização de uma função, e vamos precisar montar uma expressão para o comprimento da escada em função de uma variável geométrica e depois minimizar essa função.
Passo 2
Para modelar, colocamos um sistema de coordenadas com a base da cerca em
, o muro em
(eixos:
horizontal,
vertical). Seja
a distância da base da cerca até o pé da escada (na direção negativa do eixo
), ou seja, o pé da escada em
. A escada encosta no muro em
e passa pelo topo da cerca em
. Como os três pontos são colineares, a reta da escada tem coeficiente angular
, e deve satisfazer
Passo 3
O comprimento da escada é a distância entre
e
. Logo
Passo 4
Para achar o mínimo, é mais fácil minimizar
. Fazendo
(ou derivando o logaritmo) obtemos a condição
$$a^3 = d,h^2 \quad\Longrightarrow\quad a = (d,h2){1/3} = d{1/3}h{2/3}.
$$
Passo 5
Finalmente, substituímos esse
em
. Verifica-se que
Passo 6
logo o comprimento mínimo da escada é no passo seguinte.