Encontre a solução geral das equações lineares homogêneas, usando a equação auxiliar: 3 y^prime prime+2 y^prime+2 y=0;

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: vamos usar a técnica da equação auxiliar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y(x)=e^r x. Substituindo na equação 3y''+2y'+2y=0 obtemos a equação auxiliar:
3r^2 + 2r + 2 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante: De. As raízes são complexas:
r = -2 pm raiz-206 = -2 pm 2iraiz56 = -13 pm iraiz53
Para raízes alpha pm ibeta, a solução geral é y=e^alpha x[C1cos(beta x)+C2sin(beta x)].

Passo 4

Substituindo alpha=-tfrac13 e beta=tfracraiz53 na forma geral, obtemos a solução completa.

Resposta

y(x)=e^-x3l(C1cosl(tfracraiz53xr)+C2sinl(tfracraiz53xr)r)

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