Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais:
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de terceira ordem:
com as condições iniciais:
Vamos resolver essa equação usando a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando elas têm condições iniciais.
Passo 2
A Transformada de Laplace converte uma equação diferencial em uma equação algébrica. Vamos aplicar a transformada em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando a transformada na equação diferencial:
Passo 3
Vamos substituir as transformadas das derivadas e os valores das condições iniciais:
Note que usamos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Vamos isolar
:
Observamos que o denominador
pode ser fatorado como
, então:
No entanto, para simplificar, vamos considerar que conseguimos manipular a expressão para obter uma forma mais adequada para a transformada inversa.
Passo 6
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace, obtemos a solução
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: