Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim substackx 0 y 0 x^2-x y+x-yx-y

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa calcular o limite em duas variáveis
limsubstackxto 0yto 0x^2-x y+x-yx-y,
que é um problema de limite de função de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar fatoração e propriedades de limites.

Passo 2

Vamos olhar para o numerador e tentar fatorar. Repare que
$$x^{2}-x y+x-y = x(x-y) + 1\cdot(x-y) = (x-y)(x+1).
$$

Passo 3

Como estamos interessados no limite quando (x,y)to(0,0) e sempre podemos escolher trajetórias em que xneq y, podemos cancelar x-y de numerador e denominador. Assim, para xneq y, a expressão se reduz a
$$\frac{(x-y)(x+1)}{x-y} = x+1.
$$

Passo 4

Agora basta tomar o limite de x+1 quando (x,y)to(0,0). Note que xto0 implica que x+1to1. Portanto, o valor do limite é 1.

Resposta

1

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