A uma certa altitude da atmosfera terrestre, a relação entre o número de colisões que ocorrem entre as moléculas de oxigênio e as que ocorrem entre as moléculas de nitrogênio entre si é 3,45 times 10^-4. Admitindo que os diâmetros de colisão molecular de ambas as espécies são iguais e que a temperatura da atmosfera terrestre se mantenha constante em 27^circ C, calcule a altitude em que esta relação ocorre. A composição da atmosfera ao nível do mar é 80 % de nitrogênio e 20 % de oxigênio em volume.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a uma certa altitude a razão entre as colisões O₂–O₂ e N₂–N₂ é
nuO2O2nuN2N2 = 3,45times10^-4,
sabendo que os diâmetros são iguais e . Queremos achar a altitude onde isso acontece. Matéria envolvida: cinética molecular (frequência de colisão), mistura de gases (frações molares) e lei barométrica (variação de densidade com ). Vamos usar:
  1. para colisões de moléculas iguais;
  2. composição inicial ao nível do mar (80% N₂, 20% O₂ em volume ≃ fração molar);
  3. lei barométrica .

Passo 2

Como diâmetros e velocidades relativas são as mesmas, a frequência de colisões entre iguais satisfaz
nuAApropto nA^2
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nuO2O2nuN2N2 =nO2^2nN2^2 =l(nO2nN2r)^2

Passo 3

Ao nível do mar, a fração molar de O₂ é 0{,}20 e de N₂ é 0{,}80, então
nO2(0)nN2(0) = 0,200,80 = 0,25
Chame de l(rzr)^2 = 3,45times10^-4 Longrightarrow rz = raiz3,45times10^-4 approx 1,8574times10^-2 . A razão pedida é

Passo 4

Pela lei barométrica para densidade de cada gás:
ni(z)=ni(0),exp!l(-Mi g,zR,Tr),
onde rz = nO2(z)nN2(z) = nO2(0)nN2(0) exp!l(-(MO2-MN2)g,zR,Tr) , 0,018574 = 0,25, exp!l(-(0,032-0,028),9,8,z8,314cdot300r) , , e .
Então
Substituindo e :

Passo 5

Isolando exp!l(-0,004cdot9,8,z8,314cdot300r) = 0,0185740,25 approx0,074296, :
-0,004cdot9,8,z8,314cdot300 = ln(0,074296)approx -2,598,
z = 2,598 , (8,314cdot300)0,004cdot9,8 approx 1,65times10^5rm m

Resposta

A altitude é aproximadamente (165 km).

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