O volume total de uma linha de vácuo é de 22,4 litros. Ao evacuar o sistema, verificou-se que um orificio está permitindo que o ar penetre no sistema provocando um aumento de pressão tal que d P / d t=0,002 atm cdot s^-1. Considerando ar como um gás ideal de massa molar igual a 29 g cdot mol^-1 e supondo uma temperatura ambiente de 0^circ C e pressão de 1 atm , calcule a área do orifício por onde ocorre o vazamento.

Passo 1

Então, o que temos aqui? Um sistema de vácuo de volume 22,4 L que está “vazando” ar por um orifício pequeno. Medimos que a pressão interna sobe a uma razão de
dPdt = 0,002;atm/s
e queremos descobrir a área desse buraco. O conteúdo da matéria é:
  • Gás ideal (R, equação de estado)
  • Teoria cinética – vazamento tipo efusão (pequeno orifício, velocidade média das moléculas)
    Pra resolver, vamos precisar de:
  1. Equação dos gases ideais para relacionar com a vazão molar.
  2. Fórmula de efusão: número de moléculas que passam por área por segundo, ligada à densidade e à velocidade média .
A partir do próximo passo, começam os cálculos de verdade.

Passo 2

Primeiro vamos achar a taxa de variação de massa dentro do volume a partir de d(PV)dt = d(nRT)dt Longrightarrow V,dPdt = R T,dndt .
Usando dndt = VR,T,dPdt a temperatura é constante, então
dmdt = M,dndt = M,VR,T,dPdt
Dessa equação tiramos a vazão molar:
Como cada mol tem massa , a vazão mássica é

Passo 3

Agora vamos a outra ponta: em teoria cinética, o fluxo de massa que entra por efusão é
dmdt = (P0R,T),M;bar v4;A
onde
  • bar v = raiz8,R,Tpi,M é a pressão externa (1 atm),
  • é a velocidade média das moléculas,
  • o fator vem do fato de que em média 1/4 das moléculas com velocidade atinge o orifício.
E para um gás ideal monoatômico (aqui só usamos a fórmula geral) é

Passo 4

Para achar M,VR,T,dPdt ;=; P0R,T,M;bar v4;A , basta igualar as duas expressões para A = 4,VP0,bar v;dPdt :
Cancelamos dos dois lados e isolamos :

Passo 5

Agora só botar números (tudo em SI):
  • bar v = raiz8,R,Tpi,M = raiz8times8,314times273pitimes0,029 approx 447;m/s
  • A = 4 times 0,0224 times 2021,01times10^5 times 447 approx 4,0times10^-7;m^2
Calcular :
Agora :

Resposta

A área do orifício é aproximadamente
A approx 4,0times10^-7;m^2
(ou seja, cerca de ).

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