Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura h \mathrm{em} uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura r h, onde 0<r<1. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de H metros.
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
(b) Calcule o tempo total que a bola pula. (Use o fato de que a bola cai \frac{1}{2} g t^{2} metros em t segundos.)
(c) Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade v, ela rebaterá com velocidade k v, onde 0<k<1. Quanto tempo levará para a bola parar?

Passo 1

O enunciado trata da trajetória vertical de uma bola que, ao cair de uma altura h, rebate até a altura r\,h com 0<r<1. A altura inicial é H.
(a) Pede a distância total percorrida se os saltos são infinitos.
(b) Pede o tempo total de movimento, sabendo que a queda livre percorre \tfrac12g\,t^2 em t segundos.
(c) Em vez de falar em alturas, diz que a velocidade após cada impacto é multiplicada por k (com 0<k<1) e pergunta o tempo total até a bola “parar” (i.e.\ até o tempo total ser finito).
Para resolver vamos usar somas de séries geométricas e as fórmulas de queda livre e tempo de subida/descida a partir de uma velocidade inicial.

Passo 2

Distância total percorrida:
  • Primeiro a bola desce H.
  • Depois sobe rH e imediatamente desce rH.
  • Em geral, no n-ésimo salto sobe e desce r^nH.
    Logo a distância total é
D = H + 2\sum_{n=1}^{\infty} r^n H = H + 2H\sum_{n=1}^{\infty}r^n = H + 2H\cdot\frac{r}{1-r}.

Passo 3

Tempo total de movimento com fator de altura r:
  • Tempo de queda de h é t=\sqrt{\tfrac{2h}{g}}.
  • Primeiro, t_0=\sqrt{\tfrac{2H}{g}}.
  • Em cada salto n\ge1, sobe de 0 a r^nH e depois desce: tempo de um desses trechos é \sqrt{\tfrac{2r^nH}{g}}.
    Portanto
T =\sqrt{\frac{2H}{g}} +2\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{\frac{2\,r^nH}{g}} =\sqrt{\frac{2H}{g}}\Bigl[1+2\sum_{n=1}^{\infty}r^{n/2}\Bigr] =\sqrt{\frac{2H}{g}}\Bigl[1+2\,\frac{\sqrt{r}}{1-\sqrt{r}}\Bigr].

Passo 4

Tempo total usando fator de velocidade k:
  • Ao cair de H, a velocidade de impacto é v_0=\sqrt{2gH}, e o tempo de queda é v_0/g.
  • No i-ésimo ricochete a velocidade de partida é k^i v_0, gerando tempo de subida mais descida igual a 2\,(k^i v_0)/g.
    Logo
T' =\frac{v_0}{g}+2\sum_{i=1}^{\infty}\frac{k^i v_0}{g} =\frac{v_0}{g}\Bigl[1+2\sum_{i=1}^{\infty}k^i\Bigr] =\frac{v_0}{g}\Bigl[1+2\,\frac{k}{1-k}\Bigr] =\frac{v_0}{g}\,\frac{1+k}{1-k}.
Substituindo v_0=\sqrt{2gH},
T'=\frac{\sqrt{2gH}}{g}\,\frac{1+k}{1-k} =\sqrt{\frac{2H}{g}}\;\frac{1+k}{1-k}.

Resposta

(a) \displaystyle D = H + 2H\,\frac{r}{1-r}.
(b) \displaystyle T = \sqrt{\frac{2H}{g}}\Bigl[1 + 2\,\frac{\sqrt{r}}{1-\sqrt{r}}\Bigr].
(c) \displaystyle T' = \sqrt{\frac{2H}{g}}\;\frac{1+k}{1-k}.

Exercícios relacionados