Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura
uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura
, onde
. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de
metros.
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
(b) Calcule o tempo total que a bola pula. (Use o fato de que a bola cai
metros em
segundos.)
(c) Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade
, ela rebaterá com velocidade
, onde
. Quanto tempo levará para a bola parar?
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
(b) Calcule o tempo total que a bola pula. (Use o fato de que a bola cai
(c) Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade
Passo 1
O enunciado trata da trajetória vertical de uma bola que, ao cair de uma altura
, rebate até a altura
com
. A altura inicial é
.
(a) Pede a distância total percorrida se os saltos são infinitos.
(b) Pede o tempo total de movimento, sabendo que a queda livre percorre em
segundos.
(c) Em vez de falar em alturas, diz que a velocidade após cada impacto é multiplicada por (com
) e pergunta o tempo total até a bola “parar” (i.e.\ até o tempo total ser finito).
(a) Pede a distância total percorrida se os saltos são infinitos.
(b) Pede o tempo total de movimento, sabendo que a queda livre percorre
(c) Em vez de falar em alturas, diz que a velocidade após cada impacto é multiplicada por
Para resolver vamos usar somas de séries geométricas e as fórmulas de queda livre e tempo de subida/descida a partir de uma velocidade inicial.
Passo 2
Distância total percorrida:
- Primeiro a bola desce
. - Depois sobe
e imediatamente desce . - Em geral, no
-ésimo salto sobe e desce .
Logo a distância total é
Passo 3
Tempo total de movimento com fator de altura
:
- Tempo de queda de
é . - Primeiro,
. - Em cada salto
, sobe de a e depois desce: tempo de um desses trechos é .
Portanto
Passo 4
Tempo total usando fator de velocidade
:
- Ao cair de
, a velocidade de impacto é , e o tempo de queda é . - No
-ésimo ricochete a velocidade de partida é , gerando tempo de subida mais descida igual a .
Logo
Substituindo
,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)