Calcule a integral.
24. \int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+1\bigr)e^{-x}\,dx.
Trata-se de um polinômio vezes exponencial, então vamos usar integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2}+1,\quad dv = e^{-x}\,dx
logo
du = 2x\,dx,\quad v = -e^{-x}.
Pela fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
temos
\int\bigl(x^{2}+1\bigr)e^{-x}dx = -(x^{2}+1)e^{-x} + 2\int x\,e^{-x}dx.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \int x\,e^{-x}dx por partes de novo, com
u = x,\quad dv = e^{-x}dx
então
du = dx,\quad v = -e^{-x}.
Logo
\int x\,e^{-x}dx = -x\,e^{-x} + \int e^{-x}dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C.
Multiplicando por 2:
2\int x\,e^{-x}dx = -2x\,e^{-x} - 2e^{-x} + C.

Passo 4

Somando tudo, a antiderivada geral é
F(x) = -(x^{2}+1)e^{-x} \;+\;(-2x\,e^{-x}-2e^{-x}) + C = -(x^{2}+2x+3)e^{-x} + C.

Passo 5

Agora avaliamos nos limites 0 e 1:
F(1) = -(1^{2}+2\cdot1+3)e^{-1} = -6e^{-1},
F(0) = -(0+0+3)e^{0} = -3.

Passo 6

Portanto a integral definida é
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+1\bigr)e^{-x}dx = F(1)-F(0) = \bigl(-6e^{-1}\bigr) - \bigl(-3\bigr) = 3 - \frac{6}{e}.

Resposta

3 - \frac{6}{e}

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