1. Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+\sin n}. Esta série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge?

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+\sin n}
como convergente absolutamente, condicionalmente ou divergente. Vamos primeiro ver a convergência absoluta e depois a convergência propriamente dita (condicional).

Passo 2

Teste de convergência absoluta. Considere
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n}}{n+\sin n}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sin n}.
Como \sin n\ge -1, temos n+\sin n\le n+1 e, portanto,
\frac{1}{n+\sin n}\ge \frac{1}{n+1}.
Mas a série harmônica \sum1/(n+1) diverge. Pelo teste da comparação,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sin n}
também diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Teste de convergência (condicional) por agrupamento de pares. Escreva para k\ge1:
a_{2k}+a_{2k+1} =\frac{(-1)^{2k}}{2k+\sin(2k)} +\frac{(-1)^{2k+1}}{2k+1+\sin(2k+1)} =\frac{1}{2k+\sin(2k)}-\frac{1}{2k+1+\sin(2k+1)}.
Calcule a diferença numérica:
\frac{1}{2k+\sin(2k)}-\frac{1}{2k+1+\sin(2k+1)} =\frac{(2k+1+\sin(2k+1))-(2k+\sin(2k))}{(2k+\sin(2k))(2k+1+\sin(2k+1))}.
O numerador vale
1+\sin(2k+1)-\sin(2k),
que está limitado em valor absoluto por 1+|\sin(2k+1)|+|\sin(2k)|\le3.
O denominador, para k\ge1, satisfaz
2k+\sin(2k)\ge2k-1\ge k, \quad 2k+1+\sin(2k+1)\ge2k.
Logo o produto é \ge k\cdot2k=2k^{2}, e
\bigl|a_{2k}+a_{2k+1}\bigr|\le\frac{3}{2k^{2}}.
Como \sum_{k=1}^\infty 1/k^{2} converge, o somatório dos pares converge. Falta no máximo um termo isolado no início, então a série inteira converge por agrupamento.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados