Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura
em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura rh, onde
. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de
metros.
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
(b) Calcule o tempo total que a bola pula. (Use o fato de que a bola cai
metros em
segundos.)
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
(b) Calcule o tempo total que a bola pula. (Use o fato de que a bola cai
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que peguei do enunciado).
- A bola é solta de uma altura inicial
metros. - Cada vez que a bola cai de uma altura
, ao quicar ela sobe até a altura , com . - A bola continua quicando indefinidamente (sem perder a propriedade até o infinito).
- O enunciado pede:
(a) a distância total percorrida pela bola (soma de todos os trechos para cima e para baixo);
(b) o tempo total que a bola fica em movimento (use que a queda livre percorremetros em segundos).
Passo 2
Entender como se comportam os trechos de movimento (distâncias): vamos escrever os primeiros termos para visualizar a sequência de distâncias.
- Primeiro trecho: a bola cai de
até o chão — distância percorrida . - Depois do primeiro quique: ela sobe até
— distância percorrida . - Em seguida ela desce de
até o chão — distância percorrida . - Depois sobe até
— distância . - Depois desce
, e assim por diante.
Portanto, somando todos os trechos (o primeiro só tem uma queda; todos os outros têm subida e descida), a soma das distâncias é
Passo 3
Explicar e aplicar a soma de uma série geométrica infinita (fórmula que precisamos).
- Se
, então a soma infinita da série geométrica é
- Mais geralmente, para uma série com primeiro termo
e razão com ,
- Demonstração rápida (intuição útil na prova): se
, então ; subtraindo obtém-se .
No nosso caso queremos somar
. Isso é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
, com
, então
Passo 4
Calcular a distância total
usando a soma encontrada.
Voltando à expressão do Passo 2,
Fatorando
e simplificando:
Passo 5
Interpretação rápida do resultado (checagem de sentido físico):
- Se
é pequeno (por ex. ), a fórmula dá , ou seja, a bola praticamente não sobe depois da primeira queda — faz sentido. - Se
está próximo de , fica grande (tende a infinito quando ), porque a bola perde muito pouco a cada quique — também faz sentido.
Passo 6
Agora vamos ao tempo total. Primeiro, relembrar/explicar como obter o tempo de subida/queda a partir da relação de queda livre dada.
- A queda livre a partir do repouso satisfaz
. Se uma queda tem altura , o tempo de queda é obtido por
- Para a subida até uma altura
a partir do chão (parte do movimento vertical com desaceleração ), o tempo para atingir a altura máxima é igual ao tempo de queda a partir dessa altura (simetria do movimento sob aceleração constante): então o tempo de subida para atingir é também .
Passo 7
Listar os tempos de cada trecho e montar a soma para o tempo total.
- Tempo da primeira queda (de
até o chão):
- Após o primeiro quique, a bola sobe até
: tempo de subida . - Em seguida, ela cai de
: tempo de descida . - Em cada ciclo a partir daí (nível
), a contribuição de tempo é subida mais descida iguais a .
Assim o tempo total
é
Passo 8
Fatorar constantes e identificar outra série geométrica (agora com razão
).
- Colocando
em evidência:
- Note que
, então é uma série geométrica com razão e primeiro termo . Usando a fórmula da soma (Passo 3) para ,
Passo 9
Substituir a soma na expressão de
e simplificar.
Resposta
(a)
(b)