Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura h em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura rh, onde 0<r<1. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de H metros.
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
(b) Calcule o tempo total que a bola pula. (Use o fato de que a bola cai \frac{1}{2} g t^{2} metros em t segundos.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que peguei do enunciado).
  • A bola é solta de uma altura inicial H metros.
  • Cada vez que a bola cai de uma altura h, ao quicar ela sobe até a altura r h, com 0<r<1.
  • A bola continua quicando indefinidamente (sem perder a propriedade até o infinito).
  • O enunciado pede:
    (a) a distância total percorrida pela bola (soma de todos os trechos para cima e para baixo);
    (b) o tempo total que a bola fica em movimento (use que a queda livre percorre \tfrac{1}{2}g t^{2} metros em t segundos).

Passo 2

Entender como se comportam os trechos de movimento (distâncias): vamos escrever os primeiros termos para visualizar a sequência de distâncias.
  • Primeiro trecho: a bola cai de H até o chão — distância percorrida H.
  • Depois do primeiro quique: ela sobe até rH — distância percorrida rH.
  • Em seguida ela desce de rH até o chão — distância percorrida rH.
  • Depois sobe até r^{2}H — distância r^{2}H.
  • Depois desce r^{2}H, e assim por diante.
Portanto, somando todos os trechos (o primeiro só tem uma queda; todos os outros têm subida e descida), a soma das distâncias é
\text{Distância total }S = H + 2\bigl(rH + r^{2}H + r^{3}H + \cdots\bigr).â

Passo 3

Explicar e aplicar a soma de uma série geométrica infinita (fórmula que precisamos).
  • Se 0<q<1, então a soma infinita da série geométrica é
\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}=\frac{1}{1-q}.
  • Mais geralmente, para uma série com primeiro termo a e razão q com |q|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} a q^{k}=\frac{a}{1-q}.
  • Demonstração rápida (intuição útil na prova): se S=a+aq+aq^{2}+\cdots, então qS=aq+aq^{2}+\cdots; subtraindo S-qS=a obtém-se S=a/(1-q).
No nosso caso queremos somar rH + r^{2}H + r^{3}H + \cdots. Isso é uma série geométrica com primeiro termo a=rH e razão q=r, com 0<r<1, então
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k}H = rH\sum_{k=0}^{\infty} r^{k-1} = rH\sum_{j=0}^{\infty} r^{j} = rH\cdot\frac{1}{1-r}=\frac{rH}{1-r}.

Passo 4

Calcular a distância total S usando a soma encontrada.
Voltando à expressão do Passo 2,
S = H + 2\bigl(rH + r^{2}H + \cdots\bigr) = H + 2\cdot\frac{rH}{1-r}.
Fatorando H e simplificando:
S = H\left(1 + \frac{2r}{1-r}\right)=H\left(\frac{1-r+2r}{1-r}\right)=H\left(\frac{1+r}{1-r}\right).

Passo 5

Interpretação rápida do resultado (checagem de sentido físico):
  • Se r é pequeno (por ex. r\to 0), a fórmula dá S\to H, ou seja, a bola praticamente não sobe depois da primeira queda — faz sentido.
  • Se r está próximo de 1, S fica grande (tende a infinito quando r\to1^{-}), porque a bola perde muito pouco a cada quique — também faz sentido.

Passo 6

Agora vamos ao tempo total. Primeiro, relembrar/explicar como obter o tempo de subida/queda a partir da relação de queda livre dada.
  • A queda livre a partir do repouso satisfaz \tfrac{1}{2}g t^{2}= \text{distância}â. Se uma queda tem altura h, o tempo de queda t_{\text{queda}}(h) é obtido por
\frac{1}{2} g t^{2}=h \quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
  • Para a subida até uma altura h a partir do chão (parte do movimento vertical com desaceleração g), o tempo para atingir a altura máxima é igual ao tempo de queda a partir dessa altura h (simetria do movimento sob aceleração constante): então o tempo de subida para atingir h é também \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.

Passo 7

Listar os tempos de cada trecho e montar a soma para o tempo total.
  • Tempo da primeira queda (de H até o chão):
t_{0}=\sqrt{\frac{2H}{g}}.
  • Após o primeiro quique, a bola sobe até rH: tempo de subida t_{1,\text{subida}}=\sqrt{\dfrac{2rH}{g}}.
  • Em seguida, ela cai de rH: tempo de descida t_{1,\text{descida}}=\sqrt{\dfrac{2rH}{g}}.
  • Em cada ciclo a partir daí (nível r^{k}H), a contribuição de tempo é subida mais descida iguais a 2\sqrt{\dfrac{2r^{k}H}{g}}.
Assim o tempo total T é
T = \sqrt{\frac{2H}{g}} + 2\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{\frac{2r^{k}H}{g}}.

Passo 8

Fatorar constantes e identificar outra série geométrica (agora com razão \sqrt{r}).
  • Colocando \sqrt{\dfrac{2H}{g}} em evidência:
T = \sqrt{\frac{2H}{g}}\left(1 + 2\sum_{k=1}^{\infty} r^{k/2}\right).
  • Note que 0<\sqrt{r}<1, então \sum_{k=1}^{\infty} r^{k/2} é uma série geométrica com razão q=\sqrt{r} e primeiro termo r^{1/2}. Usando a fórmula da soma (Passo 3) para q=\sqrt{r},
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k/2}=\sum_{k=1}^{\infty}(\sqrt{r})^{k}=\frac{\sqrt{r}}{1-\sqrt{r}}.

Passo 9

Substituir a soma na expressão de T e simplificar.
T = \sqrt{\frac{2H}{g}}\left(1 + 2\cdot\frac{\sqrt{r}}{1-\sqrt{r}}\right) =\sqrt{\frac{2H}{g}}\left(\frac{1-\sqrt{r}+2\sqrt{r}}{1-\sqrt{r}}\right) =\sqrt{\frac{2H}{g}}\left(\frac{1+\sqrt{r}}{1-\sqrt{r}}\right).

Resposta

(a) \displaystyle S = H\frac{1+r}{1-r}
(b) \displaystyle T = \sqrt{\frac{2H}{g}}\;\frac{1+\sqrt{r}}{1-\sqrt{r}}

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