(0,3 pts) Questão 1 - Considere a função
dada abaixo:
Mostre que o
dado acima é solução do problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que mostremos que ela satisfaz o problema de valor inicial
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é expressa como uma constante mais uma integral com limite superior dependente de , exatamente . - O integrando é
. - Deve ser verificado (i) a condição inicial
e (ii) a equação diferencial .]
Passo 2
Verificação da condição inicial
.
Calcule o valor de
em
. Primeiro o limite superior:
Portanto a integral torna-se
pois a integral de um intervalo de comprimento zero vale zero. Assim
o que satisfaz exatamente a condição inicial.
Passo 3
Cálculo de
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia (explicação didática).
Fórmula que vamos usar (explicada de forma simples): se
onde
é contínua no intervalo percorrido e
é diferenciável, então a derivada é
Isto vem de aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para a função primitiva em
e depois usar a regra da cadeia (derivar em relação a
passando por
).
No nosso caso
e
. A derivada de
é
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Observação sobre domínio (para ficar seguro ao aplicar a fórmula): o integrando
é contínuo para
; como o limite inferior é
, a integral está bem definida e diferenciável enquanto o limite superior
também for positivo (caso contrário a integral atravessaria
, ponto singular). Assim o raciocínio vale, em particular, numa vizinhança de
onde
. Além disso a expressão
exige
, o que é coerente com a forma da equação desejada.
Passo 4
Verificação da equação diferencial
.
Já achamos
. Então
Usamos a identidade trigonométrica fundamental (explicada): partindo de
dividindo ambos os lados por
(válido quando
) obtemos
Reconhecendo
e
, essa igualdade é
Portanto
como queríamos.
Passo 5
Conclusão final: juntando os resultados dos passos anteriores, concluímos que a função
satisfaz a condição inicial
e a equação diferencial
(no domínio onde
e, em particular, numa vizinhança de
). Boa! Está mostrado passo a passo — se ficar com dúvida sobre a diferença entre
e
ou sobre domínio, me pergunta que eu explico com mais exemplos.
Resposta
A função
satisfaz
e
.