(0,3 pts) Questão 1 - Considere a função y(x) dada abaixo:
y(x)=\sqrt{\pi}+\int_{\sqrt{2}}^{2 \operatorname{sen}(x)} \frac{1}{t} d t .
Mostre que o y(x) dado acima é solução do problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{c} \left(y^{\prime}\right)^{2}+1=\operatorname{cossec}^{2}(x) \\\ y(\pi / 4)=\sqrt{\pi} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y(x)=\sqrt{\pi}+\int_{\sqrt{2}}^{2\operatorname{sen}(x)}\frac{1}{t}\,dt
e pede que mostremos que ela satisfaz o problema de valor inicial
\begin{cases} \left(y'\right)^{2}+1=\operatorname{cossec}^{2}(x),\\[6pt] y(\pi/4)=\sqrt{\pi}. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A função y(x) é expressa como uma constante \sqrt{\pi} mais uma integral com limite superior dependente de x, exatamente 2\operatorname{sen}(x).
  • O integrando é \dfrac{1}{t}.
  • Deve ser verificado (i) a condição inicial y(\pi/4)=\sqrt{\pi} e (ii) a equação diferencial \left(y'\right)^{2}+1=\operatorname{cossec}^{2}(x).]

Passo 2

Verificação da condição inicial y(\pi/4)=\sqrt{\pi}.
Calcule o valor de y em x=\pi/4. Primeiro o limite superior:
2\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Portanto a integral torna-se
\int_{\sqrt{2}}^{2\operatorname{sen}(\pi/4)}\frac{1}{t}\,dt=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\frac{1}{t}\,dt=0,
pois a integral de um intervalo de comprimento zero vale zero. Assim
y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{\pi}+0=\sqrt{\pi},
o que satisfaz exatamente a condição inicial.

Passo 3

Cálculo de y'(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia (explicação didática).
Fórmula que vamos usar (explicada de forma simples): se
F(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt,
onde f é contínua no intervalo percorrido e u é diferenciável, então a derivada é
F'(x)=f(u(x))\cdot u'(x).
Isto vem de aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para a função primitiva em u(x) e depois usar a regra da cadeia (derivar em relação a x passando por u(x)).
No nosso caso f(t)=\dfrac{1}{t} e u(x)=2\operatorname{sen}(x). A derivada de u é
u'(x)=2\operatorname{cos}(x).
Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}\left(\int_{\sqrt{2}}^{2\operatorname{sen}(x)}\frac{1}{t}\,dt\right)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x) =\frac{1}{2\operatorname{sen}(x)}\cdot 2\operatorname{cos}(x).
Simplificando:
y'(x)=\frac{2\operatorname{cos}(x)}{2\operatorname{sen}(x)}=\frac{\operatorname{cos}(x)}{\operatorname{sen}(x)}=\operatorname{cot}(x).
Observação sobre domínio (para ficar seguro ao aplicar a fórmula): o integrando \dfrac{1}{t} é contínuo para t>0; como o limite inferior é \sqrt{2}>0, a integral está bem definida e diferenciável enquanto o limite superior 2\operatorname{sen}(x) também for positivo (caso contrário a integral atravessaria t=0, ponto singular). Assim o raciocínio vale, em particular, numa vizinhança de x=\pi/4 onde \operatorname{sen}(x)>0. Além disso a expressão y'(x)=\operatorname{cot}(x) exige \operatorname{sen}(x)\neq0, o que é coerente com a forma da equação desejada.

Passo 4

Verificação da equação diferencial \left(y'\right)^{2}+1=\operatorname{cossec}^{2}(x).
Já achamos y'(x)=\operatorname{cot}(x). Então
\left(y'(x)\right)^{2}+1=\operatorname{cot}^{2}(x)+1.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental (explicada): partindo de
\operatorname{sen}^{2}(x)+\operatorname{cos}^{2}(x)=1,
dividindo ambos os lados por \operatorname{sen}^{2}(x) (válido quando \operatorname{sen}(x)\neq0) obtemos
1+\frac{\operatorname{cos}^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}=\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(x)}.
Reconhecendo \dfrac{\operatorname{cos}(x)}{\operatorname{sen}(x)}=\operatorname{cot}(x) e \dfrac{1}{\operatorname{sen}(x)}=\operatorname{cossec}(x), essa igualdade é
1+\operatorname{cot}^{2}(x)=\operatorname{cossec}^{2}(x).
Portanto
\left(y'(x)\right)^{2}+1=\operatorname{cossec}^{2}(x),
como queríamos.

Passo 5

Conclusão final: juntando os resultados dos passos anteriores, concluímos que a função
y(x)=\sqrt{\pi}+\int_{\sqrt{2}}^{2\operatorname{sen}(x)}\frac{1}{t}\,dt
satisfaz a condição inicial y(\pi/4)=\sqrt{\pi} e a equação diferencial \left(y'\right)^{2}+1=\operatorname{cossec}^{2}(x) (no domínio onde \operatorname{sen}(x)>0 e, em particular, numa vizinhança de x=\pi/4). Boa! Está mostrado passo a passo — se ficar com dúvida sobre a diferença entre \operatorname{sen} e \sin ou sobre domínio, me pergunta que eu explico com mais exemplos.

Resposta

A função y(x)=\sqrt{\pi}+\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{2\operatorname{sen}(x)}\frac{1}{t}\,dt satisfaz \left(y'\right)^{2}+1=\operatorname{cossec}^{2}(x) e y(\pi/4)=\sqrt{\pi}.

Exercícios relacionados