Questão 01 - Integrais definidas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e . - A pergunta é única: encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Primeiro uso a propriedade de linearidade das integrais: a integral da soma é a soma das integrais, e uma constante pode sair da integral. Logo
Explicando: se
e
são funções integráveis e
é constante, vale
e
. Aqui
no segundo termo.
Passo 3
Vou lembrar a regra básica para integrar potências (regra do “power rule”):
O que isso diz: para integrar
(onde
é um número real diferente de
), aumenta-se o expoente em 1 e divide-se pelo novo expoente.
é a constante de integração (irrelevante para integrais definidas, pois será eliminada ao avaliar os limites).
Passo 4
Aplico a regra termo a termo.
Para
com
:
Para
, tiro a constante
para fora e aplico a regra com
:
Passo 5
Portanto uma primitiva (antiderivada) da função integranda é
Lembro que para integral definida a constante de integração não importa — usarei
para avaliar nos limites.
Passo 6
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
onde
é a antiderivada acima,
e
.
Passo 7
Calculo
e
passo a passo.
Primeiro,
Para somar as parcelas transforme
em terços:
então
E
Logo