Questão 01 - Integrais definidas
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+3 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+3x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \,x^{2}+3x.
  • Os limites de integração são a=0 e b=2.
  • A pergunta é única: encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Primeiro uso a propriedade de linearidade das integrais: a integral da soma é a soma das integrais, e uma constante pode sair da integral. Logo
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+3x\right)\,dx = \int_{0}^{2}x^{2}\,dx+\int_{0}^{2}3x\,dx.
Explicando: se f e g são funções integráveis e c é constante, vale \int(f+g)=\int f+\int g e \int c\,f = c\int f. Aqui c=3 no segundo termo.

Passo 3

Vou lembrar a regra básica para integrar potências (regra do “power rule”):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq -1).
O que isso diz: para integrar x^{n} (onde n é um número real diferente de -1), aumenta-se o expoente em 1 e divide-se pelo novo expoente. C é a constante de integração (irrelevante para integrais definidas, pois será eliminada ao avaliar os limites).

Passo 4

Aplico a regra termo a termo.
Para \int x^{2}\,dx com n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
Para \int 3x\,dx, tiro a constante 3 para fora e aplico a regra com n=1:
\int 3x\,dx=3\int x\,dx=3\left(\frac{x^{2}}{2}\right)+C=\frac{3x^{2}}{2}+C.

Passo 5

Portanto uma primitiva (antiderivada) da função integranda é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}.
Lembro que para integral definida a constante de integração não importa — usarei F para avaliar nos limites.

Passo 6

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+3x\right)\,dx=F(2)-F(0),
onde F é a antiderivada acima, a=0 e b=2.

Passo 7

Calculo F(2) e F(0) passo a passo.
Primeiro,
F(2)=\frac{2^{3}}{3}+\frac{3\cdot 2^{2}}{2}=\frac{8}{3}+\frac{3\cdot 4}{2}=\frac{8}{3}+\frac{12}{2}=\frac{8}{3}+6.
Para somar as parcelas transforme 6 em terços:
6=\frac{18}{3},
então
F(2)=\frac{8}{3}+\frac{18}{3}=\frac{26}{3}.
E
F(0)=\frac{0^{3}}{3}+\frac{3\cdot 0^{2}}{2}=0.
Logo
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+3x\right)\,dx=F(2)-F(0)=\frac{26}{3}-0=\frac{26}{3}.

Resposta

\dfrac{26}{3}

Exercícios relacionados