Resolva as equações diferenciais exatas abaixo:
14.
14.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial exata
As informações relevantes que temos (definidas a partir do enunciado) são:
-
é o coeficiente de . -
é o coeficiente de .
O objetivo é encontrar a solução geral implícitatal que .
Passo 2
Verificar se a equação é realmente exata, isto é, checar se
.
Calculemos as derivadas parciais:
Como
a equação é exata. Então existe uma função potencial
com
e
.
Passo 3
Encontrar a função potencial
integrando
em relação a
. Aqui
é tratado como constante durante essa integração, por isso pode aparecer uma função arbitrária de
(denotada por
) que representa a “constante” de integração dependente de
.
Integramos:
Separando os termos e integrando:
Portanto, após a integração:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Determinar
impondo que
seja igual a
. Calculemos
a partir da expressão obtida:
Pelo problema, isso deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando os termos iguais em ambos os lados chega-se a
Passo 5
Integrar
para obter
:
onde
é uma constante arbitrária. (Essa constante será absorvida na constante final da solução implícita.)
Passo 6
Substituir
em
e escrever a solução geral implícita. Temos
A solução geral da equação diferencial, em forma implícita, é dada por
onde
é constante arbitrária.