Resolva as equações diferenciais exatas abaixo:
14. \left(3 x^{2} y+e^{y}\right) d x+\left(x^{3}+x e^{y}-2 y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial exata
\left(3 x^{2} y+e^{y}\right) dx+\left(x^{3}+x e^{y}-2 y\right) dy=0.
As informações relevantes que temos (definidas a partir do enunciado) são:
  • M(x,y)=3 x^{2} y+e^{y} é o coeficiente de dx.
  • N(x,y)=x^{3}+x e^{y}-2 y é o coeficiente de dy.
    O objetivo é encontrar a solução geral implícita \Psi(x,y)=C tal que d\Psi=M\,dx+N\,dy.

Passo 2

Verificar se a equação é realmente exata, isto é, checar se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y+e^{y}\big)=3x^{2}+e^{y},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}+x e^{y}-2y\big)=3x^{2}+e^{y}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=3x^{2}+e^{y},
a equação é exata. Então existe uma função potencial \Psi(x,y) com \partial\Psi/\partial x=M e \partial\Psi/\partial y=N.

Passo 3

Encontrar a função potencial \Psi(x,y) integrando M em relação a x. Aqui y é tratado como constante durante essa integração, por isso pode aparecer uma função arbitrária de y (denotada por h(y)) que representa a “constante” de integração dependente de y.
Integramos:
\Psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\big(3x^{2}y+e^{y}\big)\,dx.
Separando os termos e integrando:
\int 3x^{2}y\,dx = y\int 3x^{2}\,dx = y\cdot x^{3},
\int e^{y}\,dx = x e^{y}\quad\text{(pois \(e^{y}\) é constante em relação a \(x\))}.éçã
Portanto, após a integração:
\Psi(x,y)=x^{3}y + x e^{y} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Determinar h(y) impondo que \partial\Psi/\partial y seja igual a N(x,y). Calculemos \partial\Psi/\partial y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial\Psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y + x e^{y} + h(y)\big)=x^{3} + x e^{y} + h'(y).
Pelo problema, isso deve ser igual a N(x,y)=x^{3}+x e^{y}-2y. Igualando:
x^{3} + x e^{y} + h'(y)=x^{3}+x e^{y}-2y.
Cancelando os termos iguais em ambos os lados chega-se a
h'(y)=-2y.

Passo 5

Integrar h'(y) para obter h(y):
h(y)=\int h'(y)\,dy=\int -2y\,dy = -y^{2} + C,
onde C é uma constante arbitrária. (Essa constante será absorvida na constante final da solução implícita.)

Passo 6

Substituir h(y) em \Psi(x,y) e escrever a solução geral implícita. Temos
\Psi(x,y)=x^{3}y + x e^{y} - y^{2} + C.
A solução geral da equação diferencial, em forma implícita, é dada por
x^{3}y + x e^{y} - y^{2}=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^{3}y + x e^{y} - y^{2}=C

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