Uma certa distribuição de cargas produz um potencial elétrico dado por:
V(x, y)=a x y+b x y^2
Determine (a) o componente Ex do campo elétrico; (b) o componente Ey do campo Elétrico; © o módulo do campo elétrico resultante.
Solução : .

Passo 1

Beleza, o enunciado fala que temos um potencial elétrico
V(x,y)=a,x,y + b,x,y^2
e pede (a) o componente E = -nabla V , (b) o componente Ex = -partial Vpartial x, Ey = -partial Vpartial y, e © o módulo do campo elétrico .
Conteúdo: derivadas parciais e conceito de gradiente em eletrostática.
O que vamos precisar: saber que

ou seja

e depois usar pitágoras pra achar o módulo.

Passo 2

Primeiro, lembra que o gradiente de partial Vpartial x =partialpartial xl(a,x,y + b,x,y^2r) é o vetor das derivadas parciais.
Para achar partial Vpartial x=a,y + b,y^2 Longrightarrow Ex = -partial Vpartial x = -l(a,y + b,y^2r) , fazemos
Tratando como constante na derivada em relação a :
  • ,
  • .
    Então

Passo 3

Agora, para partial Vpartial y =partialpartial yl(a,x,y + b,x,y^2r) , fazemos
partial Vpartial y=a,x + 2,b,x,y Longrightarrow Ey = -partial Vpartial y = -l(a,x + 2,b,x,yr)
Tratando como constante:
  • ,
  • .
    Logo

Passo 4

Com E = raizEx^2 + Ey^2 e E = raizl(-!(a,y + b,y^2)r)^2 ;+; l(-!(a,x + 2b,x,y)r)^2 na mão, o módulo do campo elétrico é
Basta substituir as expressões que achamos:
O sinal de menos some ao elevar ao quadrado, e aí é só ficar nessa forma raiz.

Resposta

E = raizl(a,y + b,y^2r)^2 + l(a,x + 2,b,x,yr)^2

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