Uma esfera de raio
possui distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por
, onde
é uma constante e
é a distância ao centro da distribuição. (a) Determine a carga total (Q) e o campo elétrico para: (a) os pontos do exterior da esfera (
). (b) os pontos interiores (
).
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos uma esfera de raio
com densidade de carga esfericamente simétrica
, onde
é constante e
é a distância ao centro. A gente precisa achar:
- A carga total
. - O campo elétrico
para pontos externos ( ). - O campo elétrico
para pontos internos ( ).
Conteúdo envolvido: eletricidade básica e Lei de Gauss. Vamos usar integração em coordenadas esféricas pra achar carga total e usar a simetria esférica + Lei de Gauss pra achar o campo.
Passo 2
Calcular a carga total
.
- A cada casquinha de espessura
no raio temos uma carga
- Integramos de
até :
Passo 3
Campo externo (
), usando Lei de Gauss:
• A superfície gaussiana é uma esfera de raio .
• Pra Gauss: .
Como é simétrico, é constante na superfície e
, então
• A superfície gaussiana é uma esfera de raio
• Pra Gauss:
Como é simétrico,
Logo
Passo 4
Campo interno (
), ainda pela Lei de Gauss:
- Primeiro achamos a carga até o raio genérico
:
- Aplicamos Gauss numa esfera de raio
:
Resposta
Carga total:
Campo elétrico: