Uma esfera de raio R possui distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por rho=Br, onde B é uma constante e r é a distância ao centro da distribuição. (a) Determine a carga total (Q) e o campo elétrico para: (a) os pontos do exterior da esfera ( r >= R ). (b) os pontos interiores ( r <= R ).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma esfera de raio com densidade de carga esfericamente simétrica
, onde é constante e é a distância ao centro. A gente precisa achar:
  1. A carga total .
  2. O campo elétrico para pontos externos ( ).
  3. O campo elétrico para pontos internos ( ).
Conteúdo envolvido: eletricidade básica e Lei de Gauss. Vamos usar integração em coordenadas esféricas pra achar carga total e usar a simetria esférica + Lei de Gauss pra achar o campo.

Passo 2

Calcular a carga total dQ = rho(r),dV = B,r ;times;4pi r^2,dr = 4pi B,r^3,dr .
  1. A cada casquinha de espessura Q = integral0^R4pi B,r^3,dr = 4pi B ,R^44 = pi B,R^4 no raio temos uma carga
  1. Integramos de até :

Passo 3

Campo externo ( E(4pi r^2) = Qrm encvarepsilon0 = pi B,R^4varepsilon0 ), usando Lei de Gauss:
• A superfície gaussiana é uma esfera de raio E(r) = pi B,R^44pivarepsilon0,r^2 = B,R^44varepsilon0,r^2, (r>= R) .
• Pra Gauss: .
Como é simétrico, é constante na superfície e , então
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Passo 4

Campo interno ( Qrm enc(r) = integral0^r 4pi B,x^3,dx = pi B,r^4 ), ainda pela Lei de Gauss:
  1. Primeiro achamos a carga até o raio genérico E(4pi r^2) = pi B,r^4varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = pi B,r^44pivarepsilon0,r^2 = B,r^24varepsilon0, (r<= R) :
  1. Aplicamos Gauss numa esfera de raio :

Resposta

Carga total:
Q = pi,B,R^4
Campo elétrico:
E(r) = dfracB,r^24varepsilon0, & r<= R,[6pt] dfracB,R^44varepsilon0,r^2, & r>= R

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