O potencial de uma distribuição de cargas com simetria esférica é dado por:
V=Ar+Br^2
Onde A = 2 V m, B=4 V m e r em metros. (a) Determine a expressão do vetor campo Elétrico. (b) Calcule o módulo do campo elétrico para r=4 m.
Solução :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o potencial elétrico de uma distribuição de cargas com simetria esférica. A fórmula dada é:
V = Ar + Br^2
onde $ A = 2 , V \cdot m $, $ B = 4 , V \cdot m $ e $ r $ está em metros. Precisamos resolver duas partes:
(a) Encontrar a expressão do vetor campo elétrico.
(b) Calcular o módulo do campo elétrico para $ r = 4 , m $.
Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre o potencial elétrico $ V $ e o campo elétrico $ \vec{E} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \vec{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela relação:
E
Como temos simetria esférica, o gradiente em coordenadas esféricas simplifica para:
V
Então, nosso objetivo é derivar $ V $ em relação a $ r $ para achar $ \vec{E} $.

Passo 3

Vamos derivar $ V $ com respeito a $ r $:
V
A derivada de $ V $ em relação a $ r $ é:
r
Aplicando a relação do campo elétrico:
V = Ar + Br^2
Então, essa é a expressão do vetor campo elétrico.

Passo 4

Agora, para calcular o módulo do campo elétrico quando $ r = 4 , m $, vamos substituir os valores na expressão que encontramos:
r = 4 , m
Substituindo $ A = 2 , V \cdot m $, $ B = 4 , V \cdot m $ e $ r = 4 , m $:
E = Ar^2 + 2Br^3
Simplificando:
A = 2 , V cdot m

Resposta

(a) A expressão do vetor campo elétrico é:
E = ( Ar^2 + 2Br^3 ) r
(b) O módulo do campo elétrico para $ r = 4 , m $ é:
r = 4 , m

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