Certa doença pode ser tratada administrando pelo menos 70 unidades do medicamento C , mas este remédio pode produzir graves efeitos colaterais. Em busca de uma alternativa menos arriscada, um médico decide usar os medicamentos A e B, que não produzem efeitos colaterais se a dose combinada dos dois medicamentos for menor que 60 unidades. O médico sabe que, quando x unidades do medicamento A e y unidades do B são administradas a um paciente, o efeito é equivalente ao de administrar z unidades do medicamento C , onde
z=0,05(x y-2 x^2-y^2+95 x+20 y)
Se o médico administrar doses adequadas de A e B , será possível tratar a doença sem efeitos colaterais?

Passo 1

O enunciado diz que precisamos de pelo menos 70 unidades do medicamento C, mas queremos usar apenas A e B de modo que a soma das doses seja menor que 60 (para não haver efeitos colaterais). A equivalência entre A, B e C é dada por z = 0,05l(xy - 2x^2 - y^2 + 95x + 20yr). O conteúdo é manipulação de inequações e busca de ponto viável em condições simultâneas.

Passo 2

Escrevendo as condições matematicamente temos:
x + y < 60
e
z ,>=, 70
com
z = 0,05l(xy - 2x^2 - y^2 + 95x + 20yr)

Passo 3

Para usar a desigualdade z >= 70, multiplicamos ambos os lados por 20:
xy - 2x^2 - y^2 + 95x + 20y >= 70 / 0,05 = 1400

Passo 4

Definimos então a função
f(x,y) = xy - 2x^2 - y^2 + 95x + 20y - 1400 e queremos achar (x,y) tal que
f(x,y) >= 0 e
x + y < 60

Passo 5

Basta encontrar um ponto que satisfaça ambas. Vamos testar
x + y = 30 + 29 = 59 < 60
Observamos que
z &= 0,05l(30cdot29 - 2cdot30^2 - 29^2 + 95cdot30 + 20cdot29r) [6pt] &= 0,05l(870 - 1800 - 841 + 2850 + 580r) [6pt] &= 0,05 times 1659 = 82,95 > 70 e calculamos

Passo 6

Portanto, (x,y) = (30,29) satisfaz ambas as condições.

Resposta

Sim. Por exemplo, administrando 30 unidades de A e 29 unidades de B obtemos z ≈ 82,95 ≥ 70 com x + y = 59 < 60, logo é possível tratar sem efeitos colaterais.

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