O custo de uma empresa é dado por C=(3 x^2+5 x+75) reais. Quando o preço unitário de venda é R registram-se 10 unidades vendidas. Este número passa para 13 quando o preço unitário de venda é registram-se 10 unidades vendidas Este número passa para 13 quando o preço unitário de venda é . Admita que a equação de demanda é uma função afim.
Calcule o preço que proporciona o lucro máximo.

Passo 1

O enunciado diz que o custo é dado por C(x)=3x²+5x+75 e que a demanda é função afim p(x)=ax+b. Sabemos que quando p=17 vendem-se x=10 e quando p=11 vendem-se x=13. Queremos o preço que maximiza o lucro, então vamos precisar: determinar p(x), montar receita R(x)=x·p(x), calcular lucro π(x)=R(x)−C(x) e achar o máximo dessa parábola.

Passo 2

Para achar a reta da demanda p(x)=ax+b usamos os pontos (10,17) e (13,11). O coeficiente angular a é dado por
[a=\frac{11-17}{13-10}=\frac{-6}{3}=-2]
e o coeficiente b vem de 17=−2·10+b, logo b=37. Portanto
[p(x)=-2x+37]

Passo 3

Agora a receita R(x) é
[R(x)=x\cdot p(x)=x(-2x+37)=-2x^2+37x]
e o lucro π(x) é receita menos custo:
[\pi(x)=R(x)-C(x)=(-2x2+37x)-(3x2+5x+75)=-5x^2+32x-75]

Passo 4

Para maximizar a parábola π(x)=ax^2+bx+c com a<0, o x do vértice é x^=-b/(2a). Aqui a=-5 e b=32, então
[x^
=-\frac{32}{2\cdot(-5)}=3.2]

Passo 5

Finalmente, o preço p que dá esse x é p(3.2)=−2·3.2+37=30.6

Resposta

O preço que proporciona o lucro máximo é R$ 30,60.

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