O custo de uma empresa é dado por C=((0,125 x^2+4 x+200) reais. O preço unitário de venda é p=49-x, onde x representa o número de unidades produzidas e vendidas.
Determine o preço que maximiza o lucro.

Passo 1

O enunciado fala de custo e preço unitário de venda e pede o preço que maximiza o lucro. O assunto é otimização de funções (lucro) usando derivada ou fórmula do vértice de parábola.

Passo 2

Primeiro vamos expressar a receita total R(x) e já lembrar o custo C(x). O preço unitário é p=49-x, então
R(x)=pcdot x=(49-x)x=49x-x^2

Passo 3

O custo é dado por
C(x)=0.125x^2+4x+200

Passo 4

Agora o lucro pi(x) é a diferença entre receita e custo:
pi(x)=R(x)-C(x)=l(49x-x^2r)-l(0.125x^2+4x+200r)

Passo 5

Vamos simplificar pi(x):
pi(x)=49x-x^2-0.125x^2-4x-200=45x-1.125x^2-200

Passo 6

Temos uma parábola concava para baixo (coeficiente de x^2 negativo). O máximo ocorre no vértice, cuja abscissa é dado por
x^*=-b2a, onde a=-1.125 e b=45. Portanto:
x^*= -452cdot(-1.125)=452.25=20

Passo 7

Esse x^* é o número de unidades que maximiza o lucro. Agora basta achar o preço correspondente:
p^*=49-x^*=49-20=29

Resposta

O preço que maximiza o lucro é R$ 29,00.

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