Considere um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:
G(s)=\frac{K}{s(J s+B)}
Discuta os efeitos que as variações de K e de B produzem sobre o erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária. Esboce curvas típicas de resposta à rampa unitária para valores pequenos, médios e elevados de K, supondo que B seja constante.

Passo 1

O enunciado dá um sistema em realimentação unitária com função de transferência de malha aberta
G(s)=\frac{K}{s\bigl(J s+B\bigr)}
e pede duas coisas:
  1. Discutir os efeitos das variações de K e de B sobre o erro estacionário da resposta a uma entrada rampa unitária.
  2. Esboçar curvas típicas da saída para entrada rampa unitária r(t)=t para valores pequenos, médios e elevados de K, supondo B constante.
Informações relevantes fornecidas:
  • Malha aberta G(s) dada por \displaystyle \frac{K}{s(Js+B)}.
  • Realimentação é unitária (feedback = 1).
  • Entrada considerada: rampa unitária, cujo sinal de Laplace é \displaystyle R(s)=\frac{1}{s^{2}}.
  • Parâmetros variáveis: K e B; J aparece mas deve ser tratado conforme impacto nos resultados.
  • Pressuposto implícito: sistema em malha fechada estável (necessário para aplicar o Teorema do Valor Final).

Passo 2

Vamos lembrar e ensinar uma ferramenta chave: Teorema do Valor Final (TVF) e constante de velocidade ( K_v).
Teorema do Valor Final (forma usada aqui): se todas as singularidades de sE(s) estão no semiplano esquerdo, então
\lim_{t\to\infty} e(t)=\lim_{s\to 0} sE(s).
Aqui E(s) é a transformada de Laplace do erro e(t)=r(t)-y(t).
Para sistemas em realimentação unitária, a transformada do erro é
E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}.
Para entrada rampa unitária temos R(s)=\dfrac{1}{s^{2}}. A constante de velocidade (K_v) é definida por
K_v=\lim_{s\to 0} s\,G(s),
e para sistemas do tipo apropriado (tipo 1) o erro estacionário para rampa é
e_{\infty}=\frac{1}{K_v}.
Vou mostrar por que isso ocorre no próximo passo.

Passo 3

Derivação passo a passo do erro estacionário usando TVF.
Escrevemos
E(s)=\frac{1/s^{2}}{1+G(s)}=\frac{1}{s^{2}\bigl(1+G(s)\bigr)}.
Aplicando TVF:
e_{\infty}=\lim_{t\to\infty} e(t)=\lim_{s\to 0} sE(s)=\lim_{s\to 0}\frac{1}{s\bigl(1+G(s)\bigr)}.
Para manipular esta expressão, multiplico e divido por G(s):
\frac{1}{s\bigl(1+G(s)\bigr)}=\frac{1}{sG(s)}\cdot\frac{G(s)}{1+G(s)}.
Agora note duas coisas importantes quando s\to 0:
  • Para a nossa G(s)=\dfrac{K}{s(Js+B)} temos um polo em s=0 (há um fator 1/s explícito). Isso caracteriza o sistema como do tipo 1, o que implica que G(s)\to\infty quando s\to 0. Logo \dfrac{G(s)}{1+G(s)}\to 1.
  • Assim
e_{\infty}=\lim_{s\to 0}\frac{1}{sG(s)}=\frac{1}{\displaystyle \lim_{s\to 0} sG(s)}=\frac{1}{K_v}.
Portanto basta calcular K_v da nossa G(s).

Passo 4

Cálculo explícito de K_v para a função dada.
Temos
K_v=\lim_{s\to 0} s\;G(s)=\lim_{s\to 0} s\cdot\frac{K}{s\bigl(Js+B\bigr)}.
Cancelando o fator s (repare que s\neq 0 no limite, então podemos cancelar):
K_v=\lim_{s\to 0}\frac{K}{Js+B}.
Agora avaliando em s=0:
K_v=\frac{K}{B}.
Observação didática importante: o termo com J aparece multiplicando s e, ao avaliar s\to 0, esse termo some; por isso J não entra em K_v. Em palavras: a inércia J afeta a dinâmica transitória, mas não o erro estacionário para rampa em um sistema tipo 1.

Passo 5

Concluir fórmula do erro estacionário e interpretar matematicamente.
Usando e_{\infty}=1/K_v e K_v=K/B obtemos
e_{\infty}=\frac{1}{K_v}=\frac{B}{K}.
Interpretação:
  • Se aumentamos K (ganho), e_{\infty} diminui proporcionalmente a 1/K. Por exemplo, dobrar K reduz pela metade o erro estacionário.
  • Se aumentamos B (amortecimento/fricção), e_{\infty} aumenta proporcionalmente a B. Maior atrito ou resistência provoca maior erro em regime permanente.
  • O parâmetro J não aparece em e_{\infty}: variações de J alteram só o comportamento transitório (velocidade de aproximação, possíveis oscilações se houver conjugados complexos), não o erro em regime permanente para rampa.

Passo 6

Exemplos numéricos para fixar a intuição (suponha B=1 para ficar simples).
  • Se B=1 e K=0{,}5 (ganho pequeno), então
e_{\infty}=\frac{1}{0{,}5}=2.
A saída acompanhará a rampa com grande defasagem: y(t) ficará aproximadamente em t-2 quando o regime for estabelecido.
  • Se B=1 e K=5 (ganho médio), então
e_{\infty}=\frac{1}{5}=0{,}2,
ou seja, y(t) se aproximará de t-0{,}2.
  • Se B=1 e K=50 (ganho alto), então
e_{\infty}=\frac{1}{50}=0{,}02,
ou seja, a saída quase acompanha perfeitamente a rampa (desvio quase nulo).
Esses exemplos mostram como a curva de saída, em regime, é quase uma reta de inclinação 1 (mesma inclinação da rampa) mas deslocada para baixo por e_{\infty}=B/K.

Passo 7

Esboço típico (descrição das curvas) para r(t)=t, B fixo:
  • Forma assintótica: para grandes t a saída tem comportamento aproximado
y(t)\approx t - e_{\infty}=t-\frac{B}{K}.
Logo a curva de y(t) é uma reta de inclinação 1 paralela à rampa r(t)=t, deslocada para baixo de \dfrac{B}{K}.
  • Curvas para K pequeno, médio e grande (com B fixo):
    • K pequeno: linha com inclinação 1 bastante abaixo de r(t); grande erro em regime permanente. Além disso, se J for grande, a aproximação ao regime será lenta (transiente longo).
    • K médio: linha mais próxima de r(t); erro moderado.
    • K grande: linha muito próxima de r(t); erro estacionário pequeno. Transiente tende a ser mais rápido, mas cuidado: aumentar demais K pode tornar o sistema oscilatório ou menos amortecido (dependendo de J).
  • Comportamento transitório: as curvas acima são o comportamento em regime permanente. No início (transiente) haverá uma aproximação que depende de J e do amortecimento relativo; J maior = resposta mais lenta; K maior = resposta mais rápida (mas possível sobre-oscilação se pouco amortecimento).

Passo 8

Resumo final e dica prática para prova:
  • Resultado chave para decorar: para esta malha aberta \displaystyle G(s)=\frac{K}{s(Js+B)} com realimentação unitária e entrada rampa unitária,
e_{\infty}=\frac{B}{K}.
  • Assim, para reduzir o erro estacionário a uma rampa, aumente K ou reduza B. O termo J não altera o erro estacionário, mas afeta transientemente como a saída se aproxima do regime.
  • Na prova: calcule K_v=\lim_{s\to 0}sG(s) e então e_{\infty}=1/K_v; é rápido e seguro.

Resposta

e_{\infty}=\dfrac{B}{K}\nPara B fixo e rampa unitária: K pequeno \Rightarrow y(t)\approx t-\dfrac{B}{K} com grande deslocamento para baixo; K médio \Rightarrow deslocamento moderado; K grande \Rightarrow y(t) praticamente acompanha t (deslocamento pequeno).

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