Considere um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja:
Discuta os efeitos que as variações de K e de B produzem sobre o erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária. Esboce curvas típicas de resposta à rampa unitária para valores pequenos, médios e elevados de
, supondo que
seja constante.
Passo 1
O enunciado dá um sistema em realimentação unitária com função de transferência de malha aberta
e pede duas coisas:
- Discutir os efeitos das variações de
e de sobre o erro estacionário da resposta a uma entrada rampa unitária. - Esboçar curvas típicas da saída para entrada rampa unitária
para valores pequenos, médios e elevados de , supondo constante.
Informações relevantes fornecidas:
- Malha aberta
dada por . - Realimentação é unitária (feedback = 1).
- Entrada considerada: rampa unitária, cujo sinal de Laplace é
. - Parâmetros variáveis:
e ; aparece mas deve ser tratado conforme impacto nos resultados. - Pressuposto implícito: sistema em malha fechada estável (necessário para aplicar o Teorema do Valor Final).
Passo 2
Vamos lembrar e ensinar uma ferramenta chave: Teorema do Valor Final (TVF) e constante de velocidade (
).
Teorema do Valor Final (forma usada aqui): se todas as singularidades de
estão no semiplano esquerdo, então
Aqui
é a transformada de Laplace do erro
.
Para sistemas em realimentação unitária, a transformada do erro é
Para entrada rampa unitária temos
. A constante de velocidade
é definida por
e para sistemas do tipo apropriado (tipo 1) o erro estacionário para rampa é
Vou mostrar por que isso ocorre no próximo passo.
Passo 3
Derivação passo a passo do erro estacionário usando TVF.
Escrevemos
Aplicando TVF:
Para manipular esta expressão, multiplico e divido por
:
Agora note duas coisas importantes quando
:
- Para a nossa
temos um polo em (há um fator explícito). Isso caracteriza o sistema como do tipo 1, o que implica que quando . Logo . - Assim
Portanto basta calcular
da nossa
.
Passo 4
Cálculo explícito de
para a função dada.
Temos
Cancelando o fator
(repare que
no limite, então podemos cancelar):
Agora avaliando em
:
Observação didática importante: o termo com
aparece multiplicando
e, ao avaliar
, esse termo some; por isso
não entra em
. Em palavras: a inércia
afeta a dinâmica transitória, mas não o erro estacionário para rampa em um sistema tipo 1.
Passo 5
Concluir fórmula do erro estacionário e interpretar matematicamente.
Usando
e
obtemos
Interpretação:
- Se aumentamos
(ganho), diminui proporcionalmente a . Por exemplo, dobrar reduz pela metade o erro estacionário. - Se aumentamos
(amortecimento/fricção), aumenta proporcionalmente a . Maior atrito ou resistência provoca maior erro em regime permanente. - O parâmetro
não aparece em : variações de alteram só o comportamento transitório (velocidade de aproximação, possíveis oscilações se houver conjugados complexos), não o erro em regime permanente para rampa.
Passo 6
Exemplos numéricos para fixar a intuição (suponha
para ficar simples).
- Se
e (ganho pequeno), então
A saída acompanhará a rampa com grande defasagem:
ficará aproximadamente em
quando o regime for estabelecido.
- Se
e (ganho médio), então
ou seja,
se aproximará de
.
- Se
e (ganho alto), então
ou seja, a saída quase acompanha perfeitamente a rampa (desvio quase nulo).
Esses exemplos mostram como a curva de saída, em regime, é quase uma reta de inclinação
(mesma inclinação da rampa) mas deslocada para baixo por
.
Passo 7
Esboço típico (descrição das curvas) para
,
fixo:
- Forma assintótica: para grandes
a saída tem comportamento aproximado
Logo a curva de
é uma reta de inclinação
paralela à rampa
, deslocada para baixo de
.
-
Curvas para
pequeno, médio e grande (com fixo): -
pequeno: linha com inclinação bastante abaixo de ; grande erro em regime permanente. Além disso, se for grande, a aproximação ao regime será lenta (transiente longo). -
médio: linha mais próxima de ; erro moderado. -
grande: linha muito próxima de ; erro estacionário pequeno. Transiente tende a ser mais rápido, mas cuidado: aumentar demais pode tornar o sistema oscilatório ou menos amortecido (dependendo de ).
-
-
Comportamento transitório: as curvas acima são o comportamento em regime permanente. No início (transiente) haverá uma aproximação que depende de
e do amortecimento relativo; maior = resposta mais lenta; maior = resposta mais rápida (mas possível sobre-oscilação se pouco amortecimento).
Passo 8
Resumo final e dica prática para prova:
- Resultado chave para decorar: para esta malha aberta
com realimentação unitária e entrada rampa unitária,
- Assim, para reduzir o erro estacionário a uma rampa, aumente
ou reduza . O termo não altera o erro estacionário, mas afeta transientemente como a saída se aproxima do regime. - Na prova: calcule
e então ; é rápido e seguro.