8- Uma certa fibra ótica tem índice de refração 1,65 e está envolta por material de índice 1,40 . Se a face externa da fibra é perpendicular a direção de propagação, qual é o ângulo máximo de incidência do ar, para se garantir propagação por reflexão interna total ao longo da fibra?

Passo 1

O enunciado dá os índices de refração e pede o ângulo máximo de incidência no ar que ainda garante propagação por reflexão interna total ao longo da fibra. Dados fornecidos:
  • Índice do núcleo (fibra): n_{1}=1,65.
  • Índice do revestimento (material envolvente): n_{2}=1,40.
  • O meio externo é o ar, com índice n_{0}\approx1,00.
    O que se pede:
  • Encontrar o ângulo máximo de incidência no ar, medido em relação ao eixo da fibra (aceitação da fibra), tal que os raios que entrarem sejam guiados pela fibra por reflexão interna total.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo).
  1. Lei de Snell (refração): ela relaciona ângulos e índices em uma interface entre dois meios:
n_a\sin\theta_a = n_b\sin\theta_b,
onde n_a e n_b são os índices dos meios e \theta_a, \theta_b os ângulos medidos em relação à normal à superfície. Isso serve tanto para a entrada na face da fibra quanto para a refração/condição na interface núcleo–revestimento.
  1. Reflexão interna total (RIT): ocorre numa interface quando um raio parte de um meio com índice maior n_{1} para um meio com índice menor n_{2} e o ângulo de incidência (no interior, medido em relação à normal) é maior que o ângulo crítico \theta_{c}. O ângulo crítico é dado por
\theta_{c}=\arcsin\!\left(\dfrac{n_{2}}{n_{1}}\right),
onde \theta_{c} é o menor ângulo de incidência (no interior) que ainda permite RIT. Se o ângulo interno de incidência for \theta_{\text{inc,internal}}>\theta_{c}, há reflexão total.
  1. Geometria do raio guiado na fibra: considere um raio que viaja dentro do núcleo fazendo um ângulo \theta_{1} com o eixo da fibra. Quando esse raio atinge a superfície lateral (interface núcleo–revestimento), o ângulo de incidência na interface (medido em relação à normal da superfície lateral) é \varphi = 90^\circ - \theta_{1}. A condição de RIT exige
\varphi \ge \theta_{c}\quad\Longrightarrow\quad 90^\circ-\theta_{1}\ge\theta_{c}
ou, rearranjando,
\theta_{1}\le 90^\circ-\theta_{c}.
Tomando seno dos dois lados e usando identidades trigonométricas (explico em seguida), obtemos um limite para \sin\theta_{1}.
  1. Derivando a expressão prática (numa linguagem direta): a condição de RIT leva a
\sin\theta_{1}\le\cos\theta_{c}.
Mas \cos\theta_{c}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta_{c}}=\sqrt{1-\left(\dfrac{n_{2}}{n_{1}}\right)^{2}}=\dfrac{\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}{n_{1}}. \] Portanto o maior valor admissível de \(\sin\theta_{1} é
\sin\theta_{1,\max}=\dfrac{\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}{n_{1}}.
  1. Ligando com a entrada do ar (aceitação): quando o raio entra na fibra a partir do ar pela face final que é perpendicular ao eixo, a face é normal ao eixo, então não há desvio de direção ao atravessar essa face se o raio incide fazendo ângulo \theta_{\text{air}} em relação ao eixo (porque a normal da face coincide com o eixo). Aplicando Snell na entrada n_{0}\sin\theta_{\text{air}}=n_{1}\sin\theta_{1}. Assim o maior ângulo no ar que ainda gera um \theta_{1} admitido pela RIT satisfaz
n_{0}\sin\theta_{\max}=n_{1}\sin\theta_{1,\max}.
Com n_{0}\approx1 e substituindo \sin\theta_{1,\max} acima, obtemos a fórmula clássica da abertura numérica (numerical aperture, NA) e do ângulo máximo de aceitação:
\mathrm{NA}=\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}},\qquad \sin\theta_{\max}=\mathrm{NA}.
Aqui cada variável significa:
  • n_{1}: índice do núcleo.
  • n_{2}: índice do revestimento.
  • \mathrm{NA}: abertura numérica da fibra.
  • \theta_{\max}: ângulo máximo de incidência no ar (em relação ao eixo) que ainda garante RIT ao longo da fibra.
Resumo: calcular \mathrm{NA}=\sqrt{n_{1}^{2}-n_{2}^{2}} e depois \theta_{\max}=\arcsin(\mathrm{NA}).)

Passo 3

Calcular numericamente a abertura numérica com os valores dados.
Calcular n_{1}^{2} e n_{2}^{2}:
n_{1}^{2}=1,65^{2}=2,7225, \qquad n_{2}^{2}=1,40^{2}=1,9600.
Subtrair:
n_{1}^{2}-n_{2}^{2}=2,7225-1,9600=0,7625.
Tirar raiz quadrada para obter a NA:
\mathrm{NA}=\sqrt{0,7625}\approx0,8734.

Passo 4

Calcular o ângulo máximo usando \theta_{\max}=\arcsin(\mathrm{NA}):
\theta_{\max}=\arcsin(0,8734).
Para ter uma referência rápida: \sin(60^\circ)=0,8660 e \sin(61^\circ)=0,8746, então \arcsin(0,8734) fica um pouco abaixo de 61^\circ. Interpolando obtemos aproximadamente
\theta_{\max}\approx60,9^\circ.

Passo 5

Interpretação final curta e incentivo: isso significa que qualquer raio no ar que entre na fibra com ângulo em relação ao eixo menor ou igual a \,60,9^\circ (medido no ar) será guiado pela fibra por reflexão interna total, desde que a face de entrada seja perpendicular ao eixo. Dá pra acreditar que é um ângulo tão grande? Pois é — fibras com grande contraste de índice aceitam raios bem inclinados. Força aí nos estudos, isso aparece muito em fibras ópticas!

Resposta

\theta_{\max}\approx60,9^\circ

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