1- Luz não-polarizada de intensidade de 6,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} incide em dois filmes polarizadores cujos eixos de transmissão estão deslocados de 30^{\circ}. (a) Qual é a intensidade da luz transmitida após o segundo filme polarizador? (b) Qual a nova intensidade de saída, se um terceiro filme polarizador é intercalado entre eles, de forma que o seu eixo de polarização faz um angulo de 90 com o segundo polarizador?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Intensidade da luz incidente (não-polarizada): I_0 = 6,0\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Dois filmes polarizadores com eixos de transmissão deslocados entre si de 30^\circ.
  • Pergunta (a): qual a intensidade transmitida após o segundo polarizador (ou seja, depois dos dois polarizadores)?
  • Pergunta (b): agora intercalando um terceiro polarizador entre os dois, cujo eixo forma 90^\circ com o segundo polarizador, qual a intensidade de saída do sistema completo?

Passo 2

Conceito importante 1 — o que acontece quando luz não-polarizada passa por um polarizador:
  • Luz não-polarizada possui vibrações em todas as direções perpendiculares à propagação, com média zero em qualquer direção preferencial.
  • Um polarizador deixa passar apenas a componente da luz com polarização ao longo do seu eixo; para luz não-polarizada, em média metade da intensidade é transmitida.
  • Portanto, se a luz não-polarizada de intensidade I_0 incide num polarizador, a intensidade logo após esse polarizador é
I_{\text{após polarizador}}=\frac{1}{2}I_0.ó
  • Aqui: após o primeiro polarizador teremos I_1=\dfrac{1}{2}I_0.

Passo 3

Conceito importante 2 — Lei de Malus (luz polarizada passando por um polarizador inclinado):
  • Se uma luz já polarizada, com intensidade I_{\text{in}} e com direção de polarização fazendo ângulo \theta com o eixo de um segundo polarizador, a intensidade transmitida por esse segundo polarizador é dada pela Lei de Malus:
I_{\text{out}} = I_{\text{in}}\cos^{2}\theta.
  • Aqui I_{\text{in}} é a intensidade da luz antes do segundo polarizador e \theta é o ângulo entre a direção de polarização da luz incidente e o eixo de transmissão do polarizador. Essa fórmula vem de decompor a amplitude da onda na componente ao longo do eixo do polarizador (proporcional a \cos\theta) e lembrar que intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude.

Passo 4

Resolvendo (a) passo a passo:
  • Primeiro polarizador: a luz era não-polarizada, então
I_1=\frac{1}{2}I_0=\frac{1}{2}\cdot 6,0\\ \mathrm{W/m^{2}}=3,0\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Entre o primeiro e o segundo polarizador o ângulo entre os eixos é \theta=30^\circ. Aplicando a Lei de Malus para a luz polarizada (após o primeiro) que incide no segundo:
I_2 = I_1\cos^{2}30^\circ.
  • Sabendo que \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
\cos^{2}30^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{3}{4}.
  • Portanto
I_2 = 3,0\\ \mathrm{W/m^{2}}\times \dfrac{3}{4}= \dfrac{9}{4}\\ \mathrm{W/m^{2}}=2,25\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 5

Preparando (b): geometria angular quando se insere o terceiro polarizador
  • Chamemos de P_1 o primeiro polarizador, P_2 o segundo, e P_3 o que é intercalado entre eles.
  • Pelo enunciado, o ângulo entre os eixos de P_1 e P_2 é 30^\circ.
  • O enunciado também diz que o eixo de P_3 faz um ângulo de 90^\circ com o eixo de P_2. Assim o ângulo entre P_3 e P_2 é \varphi_{3,2}=90^\circ.
  • O ângulo entre P_1 e P_3 pode ser 60^\circ ou 120^\circ dependendo do sentido de rotação, mas note que \cos^{2}60^\circ=\cos^{2}120^\circ=\dfrac{1}{4}. Então o valor de \cos^{2} que aparece no cálculo será o mesmo em qualquer caso — não precisamos nos preocupar com o sinal.

Passo 6

Calcular intensidades passo a passo com três polarizadores (ordem: P_1 P_3 P_2):
  • Após P_1 (mesmo raciocínio do item (a)):
I_1=\frac{1}{2}I_0=3,0\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Passando de P_1 para P_3: o ângulo entre eles é \theta_{1,3}=60^\circ ou 120^\circ, e em qualquer caso
\cos^{2}\theta_{1,3}=\frac{1}{4}.
Portanto a intensidade após P_3 é
I_2 = I_1\cos^{2}\theta_{1,3}=3,0\\ \mathrm{W/m^{2}}\times \frac{1}{4}=0,75\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Agora passando de P_3 para P_2: o ângulo entre seus eixos é \varphi_{3,2}=90^\circ, então
\cos^{2}90^\circ=0.
Logo a intensidade transmitida pelo último polarizador é
I_3 = I_2\cos^{2}90^\circ = 0,75\\ \mathrm{W/m^{2}}\times 0 = 0\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Interpretação física simples: se dois polarizadores têm eixos perpendiculares, o segundo bloqueia completamente qualquer luz cuja polarização esteja ao longo do eixo perpendicular; portanto, qualquer luz transmitida pelo P_3 (polarizada ao longo do eixo de P_3) será totalmente bloqueada por P_2.

Passo 7

Resumo final e incentivo: já temos os resultados numéricos e entendemos o porquê — metade a primeira vez (por luz não-polarizada) e depois Malus com os ângulos. Se quiser, posso mostrar um diagrama com os ângulos ou fazer o caso alternativo em que o eixo do terceiro é escolhido de outra orientação (o resultado final permanece nulo porque P_3 e P_2 são perpendiculares). Vai dar tudo certo na prova, você entendeu a ideia central: metade para não-polarizada + Malus para polarizada.

Resposta

(a) 2,25\\ \mathrm{W/m^{2}}
(b) 0\\ \mathrm{W/m^{2}}

Exercícios relacionados