Considere a função f(x)=x^2-7 x+12.
Explique com suas palavras o que acontece com o vértice e as raízes da função ao multiplicar todos os coeficientes por 10 (caso não tenha ideia do que acontece, multiplique os coeficientes por 10 e faça as contas).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função quadrática f(x) = x^2 - 7x + 12 e queremos entender o que ocorre com o vértice e as raízes ao multiplicar todos os coeficientes por 10. Para isso, vamos usar conceitos de raízes de função quadrática, vértice e transformações de escala vertical.

Passo 2

Vamos definir a nova função multiplicando todos os coeficientes por 10: g(x) = 10x^2 - 70x + 120. Observamos que g(x) = 10,f(x).

Passo 3

Calcular as raízes de f(x): o discriminante é De, então as raízes são x = (7 pm 1)/2, resultando em x = 3 e x = 4. Como g(x) = 10,f(x), ao resolver g(x)=0 temos f(x)=0, logo as raízes de g são as mesmas.

Passo 4

Determinar o vértice de f(x): a coordenada x é xv = -b/(2a) = 7/2 e a coordenada y é f(7/2) = (7/2)^2 - 7 cdot (7/2) + 12 = -1/4, logo o vértice de f é l(tfrac72, -tfrac14r).

Passo 5

Determinar o vértice de g(x): o coeficiente a de g é 10 e b é -70, então xv = -(-70)/(2 cdot 10) = 7/2, igual ao de f. Para y, g(7/2) = 10,f(7/2) = 10 cdot (-1/4) = -5/2, portanto o vértice de g é l(tfrac72, -tfrac52r).

Passo 6

Conclusão: a multiplicação dos coeficientes por 10 corresponde a uma escala vertical de fator 10, mantendo as raízes e a abscissa do vértice, mas multiplicando a ordenada do vértice por 10. A parábola fica mais esticada verticalmente, sem mudar sua largura horizontal.

Resposta

As raízes permanecem x = 3 e x = 4. O vértice muda de l(tfrac72, -tfrac14r) para l(tfrac72, -tfrac52r).

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