Para uma certa função y=f(x) sabe-se que f^prime(x)=x(x^2-x-2) e que f(0)=1.
Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função cuja derivada é dada e que satisfaz a condição inicial. O conteúdo principal envolve integrar para obter f(x), achar pontos críticos com f′(x), estudar monotonicidade, analisar concavidade com f″(x) e, por fim, montar um esboço.

Passo 2

Vamos obter f(x) integrando a derivada e aplicando a condição inicial. Sabemos que
f'(x)=x(x^2 - x - 2)=x^3 - x^2 -2x
Integrando, temos
f(x)=integral(x^3 - x^2 -2x),dx=x^44-x^33-x^2 + C
Como f(0)=1, substituindo x=0 dá C=1. Logo
f(x)=x^44-x^33-x^2+1

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos resolvemos f′(x)=0, ou seja
x(x^2 - x -2)=0Longrightarrow x=0,;x^2 - x -2=0Rightarrow x=2,;x=-1

Passo 4

Estudamos o sinal de f′(x)=x(x-2)(x+1) em cada intervalo:
  • Em x<−1: três fatores (−)(−)(−)=− ⇒ f′<0, f decresce.
  • Em −1<x<0: (−)(−)(+)=+ ⇒ f′>0, f cresce.
  • Em 0<x<2: (+)(−)(+)=− ⇒ f′<0, f decresce.
  • Em x>2: (+)(+)(+)=+ ⇒ f′>0, f cresce.
    Portanto há mínimo local em x=−1, máximo local em x=0 e mínimo local em x=2.

Passo 5

Calculamos os valores de f nos críticos:
f(-1)=14+13-1+1=712approx0,58,
f(0)=1,
f(2)=4-83-4+1=1-83=-53approx-1,67

Passo 6

Para a concavidade usamos f″(x)= 3x^2 - 2x - 2. Resolvendo f″(x)=0:
3x^2 - 2x -2=0Rightarrow x=1pmraiz73approx-0,55 e 1,22
Em cada região vemos mudança de concavidade, logo esses são pontos de inflexão.

Passo 7

Com todas as informações montamos o esboço qualitativo:
  • Como coeficiente principal de f(x) é positivo (x^4/4), f→+∞ em x→±∞.
  • Há mínimo em (−1,0,58), máximo em (0,1) e mínimo em (2,−1,67).
  • Pontos de inflexão em x≈−0,55 e x≈1,22.
    O gráfico cresce de −∞ até o min em x=−1, sobe ao max em x=0, desce ao min em x=2 e depois sobe indefinidamente, mudando de concavidade nos inflexões.

Resposta

Esboço qualitativo: curva de um polinômio quartíco com f→+∞ nos dois extremos, mínimo local em (−1,0,58), máximo em (0,1), mínimo em (2,−1,67) e pontos de inflexão em x≈−0,55 e x≈1,22.

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