Para uma certa função
sabe-se que
e que
.
Faça um esboço do gráfico de
.
Faça um esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função cuja derivada é dada e que satisfaz a condição inicial. O conteúdo principal envolve integrar para obter f(x), achar pontos críticos com f′(x), estudar monotonicidade, analisar concavidade com f″(x) e, por fim, montar um esboço.
Passo 2
Vamos obter f(x) integrando a derivada e aplicando a condição inicial. Sabemos que
Integrando, temos
Como f(0)=1, substituindo x=0 dá C=1. Logo
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos resolvemos f′(x)=0, ou seja
Passo 4
Estudamos o sinal de f′(x)=x(x-2)(x+1) em cada intervalo:
- Em x<−1: três fatores (−)(−)(−)=− ⇒ f′<0, f decresce.
- Em −1<x<0: (−)(−)(+)=+ ⇒ f′>0, f cresce.
- Em 0<x<2: (+)(−)(+)=− ⇒ f′<0, f decresce.
- Em x>2: (+)(+)(+)=+ ⇒ f′>0, f cresce.
Portanto há mínimo local em x=−1, máximo local em x=0 e mínimo local em x=2.
Passo 5
Calculamos os valores de f nos críticos:
Passo 6
Para a concavidade usamos f″(x)=
. Resolvendo f″(x)=0:
Em cada região vemos mudança de concavidade, logo esses são pontos de inflexão.
Passo 7
Com todas as informações montamos o esboço qualitativo:
- Como coeficiente principal de f(x) é positivo (x^4/4), f→+∞ em x→±∞.
- Há mínimo em (−1,0,58), máximo em (0,1) e mínimo em (2,−1,67).
- Pontos de inflexão em x≈−0,55 e x≈1,22.
O gráfico cresce de −∞ até o min em x=−1, sobe ao max em x=0, desce ao min em x=2 e depois sobe indefinidamente, mudando de concavidade nos inflexões.
Resposta
Esboço qualitativo: curva de um polinômio quartíco com f→+∞ nos dois extremos, mínimo local em (−1,0,58), máximo em (0,1), mínimo em (2,−1,67) e pontos de inflexão em x≈−0,55 e x≈1,22.