Para uma certa função
sabe-se que
e que
.
Quantas são as raízes reais da equação
? Justifique.
Quantas são as raízes reais da equação
Passo 1
O enunciado nos dá que a derivada de f é f′(x)=x(x²−x−2) e que f(0)=1. Queremos descobrir quantas raízes reais satisfazem f(x)=0, usando integração para obter f(x) e depois análise de derivada (pontos críticos e monotonicidade).
Passo 2
Primeiro, integramos f′(x) para achar a expressão de f(x). Temos
Logo,
Como f(0)=1, vemos que C=1. Portanto
Passo 3
Agora, achamos os pontos críticos resolvendo f′(x)=0: x(x^2−x−2)=0 leva a x=0, x^2−x−2=0 ⇒ x=2 ou x=−1. Fazendo o estudo de sinal de f′(x):
- Para x<−1: x<0 e x^2−x−2>0 ⇒ f′<0 (decrescente).
- Em (−1,0): x<0 e x^2−x−2<0 ⇒ f′>0 (crescente).
- Em (0,2): x>0 e x^2−x−2<0 ⇒ f′<0 (decrescente).
- Para x>2: x>0 e x^2−x−2>0 ⇒ f′>0 (crescente).
Isso mostra um mínimo em x=−1, um máximo em x=0 e outro mínimo em x=2.
Passo 4
Avaliamos f nos pontos críticos e no infinito para ver mudanças de sinal:
- Como x→±∞, f(x)→+∞ (termo x^4 domina).
- f(−1)=1/4+1/3−1+1=(3+4−12+12)/12=7/12>0.
- f(0)=1>0 por hipótese.
- f(2)=4−8/3−4+1=(12−8−12+3)/3=−5/3<0.
Então f fica positiva até x=0, desce e cruza o zero em algum ponto de (0,2), atinge mínimo negativo em x=2, e volta a subir cruzando de novo o zero para x>2. Não há cruzamentos para x<0 porque o mínimo em x=−1 já é positivo.
Passo 5
Dessa análise concluímos que a equação f(x)=0 tem exatamente duas raízes reais, uma em (0,2) e outra em (2,+∞).
Resposta
A equação f(x)=0 possui 2 raízes reais.