Encontre as derivadas das funções abaixo:
cos (1-e^t1+2 e^t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função $ \cos \left(\frac{1 - e^{t}}{1 + 2 e^{t}}\right) $. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa função composta. Vamos definir:
u(t) = 1 - e^t1 + 2 e^t
Então, nossa função original fica:
f(t) = cos(u(t))

Passo 3

Agora, usamos a Regra da Cadeia para derivar $ f(t) $. A Regra da Cadeia diz que a derivada de uma função composta $ f(g(t)) $ é $ f’(g(t)) \cdot g’(t) $. Aplicando isso aqui:
f(t)

Passo 4

Precisamos agora encontrar $ u’(t) $, a derivada de $ u(t) $. Como $ u(t) $ é uma fração, vamos usar a Regra do Quociente, que é:
u'(t)
Aqui, $ A = 1 - e^{t} $ e $ B = 1 + 2 e^{t} $.

Passo 5

Calculando as derivadas de $ A $ e $ B $:
A
B

Passo 6

Aplicando a Regra do Quociente:
u'(t) = (-e^t)(1 + 2 e^t) - (1 - e^t)(2 e^t)(1 + 2 e^t)^2
Vamos simplificar o numerador:
- e^t - 2 e^2t - 2 e^t + 2 e^2t = -3 e^t
Então,
u'(t) = -3 e^t(1 + 2 e^t)^2

Passo 7

Voltando à derivada original $ f’(t) $:
f'(t)
Simplificando os sinais:
f'(t) = -sin( 1 - e^t1 + 2 e^t ) cdot ( -3 e^t(1 + 2 e^t)^2 )

Resposta

A derivada da função é
f'(t) = 3 e^t(1 + 2 e^t)^2 cdot sin( 1 - e^t1 + 2 e^t )

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