Encontre as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função $ \cos \left(\frac{1 - e^{t}}{1 + 2 e^{t}}\right) $. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa função composta. Vamos definir:
Então, nossa função original fica:
Passo 3
Agora, usamos a Regra da Cadeia para derivar $ f(t) $. A Regra da Cadeia diz que a derivada de uma função composta $ f(g(t)) $ é $ f’(g(t)) \cdot g’(t) $. Aplicando isso aqui:
Passo 4
Precisamos agora encontrar $ u’(t) $, a derivada de $ u(t) $. Como $ u(t) $ é uma fração, vamos usar a Regra do Quociente, que é:
Aqui, $ A = 1 - e^{t} $ e $ B = 1 + 2 e^{t} $.
Passo 5
Calculando as derivadas de $ A $ e $ B $:
Passo 6
Aplicando a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 7
Voltando à derivada original $ f’(t) $:
Simplificando os sinais:
Resposta
A derivada da função é