Para uma certa função y=f(x) sabe-se que f^prime(x)=x(x^2-x-2) e que f(0)=1.
Determine os intervalos em que essa função é crescente, decrescente e de concavidades. Determine também os pontos críticos de f e os pontos de inflexão de seu gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para achar onde a função é crescente, decrescente e as concavidades, além de localizar pontos críticos e de inflexão, sabendo que f'(x)=x(x^2 - x - 2) e f(0)=1. Vamos usar análise de sinais na primeira e segunda derivadas.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, fatoramos a derivada primeira:
f'(x)=x(x^2 - x - 2)=x(x-2)(x+1)
As raízes disso, onde f'(x)=0, são x=-1,0,2, que são os pontos críticos.

Passo 3

Analisando o sinal de f'(x)=x(x-2)(x+1):
  • Em ( -infty,-1): x<0 e (x-2)(x+1)>0 f'<0 (decrescente).
  • Em (-1,0): x<0 e (x-2)(x+1)<0 f'>0 (crescente).
  • Em (0,2): x>0 e (x-2)(x+1)<0 f'<0 (decrescente).
  • Em (2,infty): x>0 e (x-2)(x+1)>0 f'>0 (crescente).

Passo 4

Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddx(x^3 - x^2 - 2x)=3x^2 -2x -2
Resolvendo f''(x)=0:
3x^2 -2x -2=0
x=2pmraiz4+246=1pmraiz73

Passo 5

Analisando o sinal de f''(x):
  • Em ( -infty,tfrac1-raiz73): f''>0 (concavidade para cima).
  • Em (tfrac1-raiz73,tfrac1+raiz73): f''<0 (concavidade para baixo).
  • Em (tfrac1+raiz73,infty): f''>0 (concavidade para cima).
    Como f'' muda de sinal em x=tfrac1pmraiz73, esses são pontos de inflexão.

Resposta

Função crescente em (-1,0)cup(2,infty); decrescente em (tfrac1-raiz73,tfrac1+raiz73). Concavidade para cima em x=-1,0,2; concavidade para baixo em x=tfrac1-raiz73, tfrac1+raiz73. Pontos críticos: . Pontos de inflexão: .

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