Para uma certa função
sabe-se que
e que
.
Determine os intervalos em que essa função é crescente, decrescente e de concavidades. Determine também os pontos críticos de
e os pontos de inflexão de seu gráfico.
Determine os intervalos em que essa função é crescente, decrescente e de concavidades. Determine também os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado pede para achar onde a função é crescente, decrescente e as concavidades, além de localizar pontos críticos e de inflexão, sabendo que
e
. Vamos usar análise de sinais na primeira e segunda derivadas.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, fatoramos a derivada primeira:
As raízes disso, onde
Passo 3
Analisando o sinal de
:
- Em
: e ⇒ (decrescente). - Em
: e ⇒ (crescente). - Em
: e ⇒ (decrescente). - Em
: e ⇒ (crescente).
Passo 4
Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
Resolvendo
Passo 5
Analisando o sinal de
:
- Em
: (concavidade para cima). - Em
: (concavidade para baixo). - Em
: (concavidade para cima).
Comomuda de sinal em , esses são pontos de inflexão.
Resposta
Função crescente em
; decrescente em
. Concavidade para cima em
; concavidade para baixo em
. Pontos críticos:
. Pontos de inflexão:
.