Para uma certa função
sabe-se que
e que
.
Caso exista, determine os valores de máximo e mínimo globais de
para
.
Caso exista, determine os valores de máximo e mínimo globais de
Passo 1
O enunciado dá a derivada f '(x) = x(x^2 – x – 2) e a condição f(0) = 1, e pede os extremos globais de f em ℝ. Vamos usar teoria de cálculo: integrar para achar f(x), encontrar pontos críticos (f ’ = 0), classificar monotonia, avaliar f nos críticos e checar limites.
Passo 2
Integrando a derivada para obter a expressão de f(x). Como f '(x) = x^3 – x^2 – 2x, temos
Passo 3
Usando a condição inicial f(0) = 1, obtemos
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Passo 4
Para achar os pontos críticos, resolvemos f '(x) = 0: como f '(x) = x(x^2 - x - 2) = x(x - 2)(x + 1), as raízes são
Passo 5
Analisando o sinal de f '(x) nos intervalos:
• Para x < -1: x( x+1 )( x-2 ) é – × – × – = –, f decrescente.
• Para -1 < x < 0: – × + × – = +, f crescente.
• Para 0 < x < 2: + × + × – = –, f decrescente.
• Para x > 2: + × + × + = +, f crescente.
Assim, x = -1 e x = 2 são mínimos locais, e x = 0 é máximo local.
• Para x < -1: x( x+1 )( x-2 ) é – × – × – = –, f decrescente.
• Para -1 < x < 0: – × + × – = +, f crescente.
• Para 0 < x < 2: + × + × – = –, f decrescente.
• Para x > 2: + × + × + = +, f crescente.
Assim, x = -1 e x = 2 são mínimos locais, e x = 0 é máximo local.
Passo 6
Calculando f nos pontos críticos:
Passo 7
Examinando o comportamento em infinito, notamos que o termo dominante em f(x) é x^4/4 > 0, logo
Passo 8
Como f(2) = -5/3 é o menor valor atingido e f cresce sem limite para x → ±∞, esse é o mínimo global. Não há máximo global porque f(x) → +∞ nas pontas.
Passo 9
Resposta
Mínimo global: f(2) = -5/3 no ponto x = 2. Não existe máximo global (f(x) → +∞ quando x → ±∞).