Para uma certa função y=f(x) sabe-se que f^prime(x)=x(x^2-x-2) e que f(0)=1.
Caso exista, determine os valores de máximo e mínimo globais de y=f(x) para x in R.

Passo 1

O enunciado dá a derivada f '(x) = x(x^2 – x – 2) e a condição f(0) = 1, e pede os extremos globais de f em ℝ. Vamos usar teoria de cálculo: integrar para achar f(x), encontrar pontos críticos (f ’ = 0), classificar monotonia, avaliar f nos críticos e checar limites.

Passo 2

Integrando a derivada para obter a expressão de f(x). Como f '(x) = x^3 – x^2 – 2x, temos
f(x) = integral (x^3 x^2 2x),dx = x^44 - x^33 - x^2 + C

Passo 3

Usando a condição inicial f(0) = 1, obtemos
f(0) = C = 1,
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f(x) = x^44 - x^33 - x^2 + 1

Passo 4

Para achar os pontos críticos, resolvemos f '(x) = 0: como f '(x) = x(x^2 - x - 2) = x(x - 2)(x + 1), as raízes são
x = -1, x = 0, x = 2

Passo 5

Analisando o sinal de f '(x) nos intervalos:
• Para x < -1: x( x+1 )( x-2 ) é – × – × – = –, f decrescente.
• Para -1 < x < 0: – × + × – = +, f crescente.
• Para 0 < x < 2: + × + × – = –, f decrescente.
• Para x > 2: + × + × + = +, f crescente.
Assim, x = -1 e x = 2 são mínimos locais, e x = 0 é máximo local.

Passo 6

Calculando f nos pontos críticos:
f(-1) = (-1)^44 - (-1)^33 - (-1)^2 + 1 = 14 + 13 - 1 + 1 = 712,
f(0) = 1,
f(2) = 2^44 - 2^33 - 2^2 + 1 = 4 - 83 - 4 + 1 = -53

Passo 7

Examinando o comportamento em infinito, notamos que o termo dominante em f(x) é x^4/4 > 0, logo
limxtopminfty f(x) = +infty

Passo 8

Como f(2) = -5/3 é o menor valor atingido e f cresce sem limite para x → ±∞, esse é o mínimo global. Não há máximo global porque f(x) → +∞ nas pontas.

Passo 9

Resposta

Mínimo global: f(2) = -5/3 no ponto x = 2. Não existe máximo global (f(x) → +∞ quando x → ±∞).

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