Inverter a ordem de integração
integral0^pi / 4 integral2 raiz2pi x^sen x f(x, y) d y d x

Passo 1

Neste exercício vamos inverter a ordem de integração da integral integral0^pi/4integral2raiz2pix^sin x f(x,y), dy, dx. Precisamos entender a região R no plano xy delimitada por x=0, x=pi/4, y=tfrac2raiz2pix e y=sin x.

Passo 2

Para visualizar R, note que y=2raiz2pix é uma reta passando pela origem que, em x=pi/4, vale 2raiz2picdotpi4=raiz22. A curva y=sin x também vai de 0 até sin(pi/4)=tfracraiz22. Logo as duas se encontram em (pi/4,,raiz2/2).

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, projetamos R no eixo y: o menor valor de y é 0 (quando x=0) e o maior é sin(pi/4)=tfracraiz22. Assim 0<= y<= tfracraiz22.

Passo 4

Para cada y fixo em [0,tfracraiz22], os x que satisfazem tfrac2raiz2pix<= y<=sin x devem obedecer duas condições: a desigualdade y>=tfrac2raiz2pix x<=tfracpi y2raiz2, e y<=sin x x>=arcsin(y).

Passo 5

Dessa forma, após a troca de ordem, para cada yin[0,tfracraiz22] teremos x variando de arcsin(y) até tfracpi y2raiz2.

Resposta

integral0^raiz22 integralarcsin(y)^pi y2raiz2 f(x,y), dx, dy

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