Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o custo marginal de produção de cada uma é C M g(x) =3 x^2-12 x+36 reais. Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual a 50 R: C(x)=x^3-6 x^2+36 x+50.

Passo 1

O enunciado diz que o custo marginal de produção é dado por CMg(x)=3x^2-12x+36 e que o custo fixo (isto é, C(0)) vale 50 reais. O conteúdo da matéria envolvido aqui é integração (antiderivação) para passar do custo marginal ao custo total.

Passo 2

Sabendo que o custo marginal é a derivada do custo total, temos C'(x)=CMg(x). Logo, para achar C(x) basta integrar CMg(x) em relação a x e depois determinar a constante de integração usando o custo fixo.

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral(3x^2 - 12x + 36),dx = integral3x^2,dx - integral12x,dx + integral36,dx = x^3 - 6x^2 + 36x + C
Para encontrar C, usamos a condição de custo fixo: C(0)=50. Substituindo na expressão obtida, fica
$$
C(0)=0^3 - 6\cdot0^2 + 36\cdot0 + C = C = 50.
$$
Logo, a constante de integração é 50, e a função custo total fica determinada.

Resposta

C(x)=x^3 - 6x^2 + 36x + 50

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