A função custo marginal de determinado produto é dada por C M g(x)=2 0+4 0 x-6 x^2. O custo fixo é 60. Determine: (a) a função custo total; (b) a função custo médio; © a função custo variável.
R: C(x)=20 x+20 x^2-2 x^3+60, CM(x)=20+20 x-2 x^2+60 / x e CV(x)=20 x+20 x^2-2 x^3

Passo 1

O enunciado dá a função custo marginal CMg(x)=20+40x-6x^2 e informa que o custo fixo é 60. Pede-se (a) a função custo total C(x), (b) a função custo médio CM(x) e © a função custo variável CV(x). O que precisamos aqui é lembrar que o custo marginal é a derivada do custo total e que o custo fixo nos dá a condição inicial para integrar.

Passo 2

Como custo marginal é definido por CMg(x)=C'(x), integramos para obter C(x). Temos:
C(x)=integral(20+40x-6x^2),dx=20x+20x^2-2x^3+K
Usamos a condição de custo fixo: C(0)=60. Logo,
C(0)=K=60
Portanto a função custo total é C(x)=20x+20x^2-2x^3+60.

Passo 3

A função custo médio é definida por CM(x)=dfracC(x)x. Logo, dividindo cada termo de C(x) por x obtemos
CM(x)=20+20x-2x^2+60x

Passo 4

Por fim, a função custo variável é o custo total menos o custo fixo, ou seja, CV(x)=C(x)-60. Daí resulta
CV(x)=20x+20x^2-2x^3

Resposta

(a) C(x)=20x+20x2-2x3+60
(b) C_M(x)=20+20x-2x^2+60/x
© C_V(x)=20x+20x2-2x3

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