Certa máquina de empacotar determinado produto oferece variaçōes de peso com desvio-padrāo de 20 g .
Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 10 \% tenham menos de 400 g ?
Calcule a probabilidade de um pacote sair com mais de 450 g .

Passo 1

O enunciado diz que o peso X dos pacotes segue uma distribuição normal com média \mu (a regular) e desvio-padrão \sigma=20 g.
Precisamos de duas coisas:
  1. Achar \mu tal que
P(X<400)=0,10.
  1. Calcular
P(X>450).

Passo 2

Para achar \mu, usamos a padronização
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).
Queremos
P(X<400)=P\Bigl(Z<\frac{400-\mu}{20}\Bigr)=0,10.
O quantil de ordem 0,10 da normal padrão é aproximadamente
z_{0,10}=-1,2816.
Logo,
\frac{400-\mu}{20}=-1,2816 \quad\Longrightarrow\quad \mu=400+1,2816\cdot20=400+25,632=425,632\text{ g}.

Passo 3

Agora calculamos
P(X>450)=P\Bigl(Z>\frac{450-\mu}{20}\Bigr).
Substituindo \mu=425,632 g,
\frac{450-425,632}{20}=1,2184.
Então
P(X>450)=1-\Phi(1,2184)\approx1-0,8888=0,1112.

Resposta

A máquina deve ser regulada para média \mu\approx425,63 g.
A probabilidade de um pacote sair com mais de 450 g é aproximadamente 0,1112 (11,12 %).

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