O Senado brasileiro possui 81 senadores, sendo 3 para cada um dos 27 estados (contado o distrito federal). Se uma comissão de 8 senadores for escolhida ao acaso, qual a probabilidade que eu tenha pelo menos 2 senadores de um mesmo estado nessa comissão?

Passo 1

O problema é de probabilidade em amostragem sem reposição: temos 81 senadores ( 3 de cada um dos 27 estados) e vamos escolher uma comissão de 8. Queremos
calcular a probabilidade de que exista pelo menos um estado que tenha 2 ou mais senadores na comissão.

Passo 2

O número total de formas de escolher qualquer comissão de 8 senadores entre 81 é dado por
\binom{81}{8}\,.

Passo 3

É mais fácil usar o evento complementar: “nenhum estado contribui com mais de um senador” (ou seja, todos os 8 vêm de estados distintos).
1. Escolher quais 8 estados (de um total de 27) irão ceder um senador: \displaystyle \binom{27}{8}.
2. De cada um desses 8 estados, escolher exatamente 1 dos seus 3 senadores: 3^8.
Logo, o número de comissões com no máximo 1 senador por estado é
\binom{27}{8}\,3^8\,.

Passo 4

A probabilidade de não ter dois senadores do mesmo estado é
P(\text{nenhum estado com >=2}) \;=\;\frac{\binom{27}{8}\,3^8}{\binom{81}{8}}\,.
Então a probabilidade complementar, de ter pelo menos 2 senadores de um mesmo estado, é
P(\text{pelo menos 2 do mesmo estado}) \;=\;1 - \frac{\binom{27}{8}\,3^8}{\binom{81}{8}}\,.

Resposta

\boxed{1 - \frac{\binom{27}{8}\,3^8}{\binom{81}{8}}}

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