O Senado brasileiro possui 81 senadores, sendo 3 para cada um dos 27 estados (contado o distrito federal). Se uma comissão de 8 senadores for escolhida ao acaso, qual a probabilidade que eu tenha pelo menos 2 senadores de um mesmo estado nessa comissão?
Passo 1
O problema é de probabilidade em amostragem sem reposição: temos
senadores (
de cada um dos
estados) e vamos escolher uma comissão de
. Queremos
calcular a probabilidade de que exista pelo menos um estado que tenha ou mais senadores na comissão.
calcular a probabilidade de que exista pelo menos um estado que tenha
Passo 2
O número total de formas de escolher qualquer comissão de
senadores entre
é dado por
Passo 3
É mais fácil usar o evento complementar: “nenhum estado contribui com mais de um senador” (ou seja, todos os
vêm de estados distintos).
. Escolher quais
estados (de um total de
) irão ceder um senador:
.
. De cada um desses
estados, escolher exatamente
dos seus
senadores:
.
Logo, o número de comissões com no máximo senador por estado é
Logo, o número de comissões com no máximo
Passo 4
A probabilidade de não ter dois senadores do mesmo estado é
Então a probabilidade complementar, de ter pelo menos
senadores de um mesmo estado, é