Um pesquisador dividiu aves poedeiras em três grupos equiprováveis: poedeiras pesadas, poedeiras médias e poedeiras leves.
Sabendo que o peso das aves segue distribuição normal com média igual a
e desvio padrão igual a
:
(a)
Encontre o peso correspondente a cada classe.
(b)
O pesquisador escolheu ao acaso uma ave da população; qual a probabilidade de uma dessas aves ter o peso da categoria peso leve?
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
-
Informações fornecidas:
- A massa das aves segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão . - As aves foram divididas em três grupos equiprováveis: poedeiras pesadas, poedeiras médias e poedeiras leves. “Equiprováveis” significa que cada classe tem a mesma probabilidade de ocorrer.
- A massa das aves segue uma distribuição normal com média
-
O que é pedido:
(a) Encontrar os limites de peso que definem cada classe (ou seja, o peso correspondente a cada limite que separa as três classes).
(b) Calcular a probabilidade de uma ave escolhida ao acaso pertencer à categoria “peso leve”.
Passo 2
Entendendo como dividir uma distribuição Normal em três partes iguais (terços).
- Ideia chave: dividir a distribuição em três partes com mesma probabilidade equivale a encontrar os quantis (tertiles) de probabilidade
e . Esses quantis são valores tais que
- Para a Normal
usamos a padronização. Se é a normal padrão , então
Assim, o quantil
da Normal é dado por
onde
é o quantil da normal padrão tal que
, ou seja
(com
a função distribuição da normal padrão).
- Aplicando ao nosso caso, precisamos de
e . Por simetria da normal padrão vale
Passo 3
Calcular os valores de
e
.
- Usando uma tabela de normal padrão ou calculadora estatística encontra-se
- Logo
(Se na prova só houver tabela, localizar na tabela o valor de
mais próximo de
e ler o
correspondente; esse procedimento dá o mesmo número.)
Passo 4
Calcular os limites de peso (os quantis na escala original).
-
Usamos a fórmula
com e . -
Para o quantil inferior (entre leve e média),
:
Calcule passo a passo:
- Para o quantil superior (entre média e pesada),
:
- Arredondando de forma prática (por exemplo com duas casas decimais, comum para pesos):
Passo 5
Interpretação final das classes (definição prática).
-
Como a distribuição é contínua, a inclusão/exclusão de pontos de fronteira não altera probabilidades. Uma forma clara de definir as três classes é:
- Poedeiras leves:
ou, numericamente, (aprox. ). - Poedeiras médias:
ou, numericamente, (aprox. – ). - Poedeiras pesadas:
ou, numericamente, (aprox. ).
- Poedeiras leves:
-
Observação intuitiva e útil na prova: porque as classes foram feitas equiprováveis, cada uma tem probabilidade exatamente
(ou ) de ocorrência.
Passo 6
Calcular explicitamente a probabilidade de uma ave ser da categoria leve (parte (b)).
- Pelo procedimento de divisão, o limiar
foi escolhido de modo que
- Usando a CDF da normal padrão dá o mesmo resultado:
- Portanto a probabilidade pedida é
(ou ).
Resposta
(a) Limites das classes: poedeiras leves até
(aprox.
); poedeiras médias entre
e
(aprox.
–
); poedeiras pesadas acima de
(aprox.
).
(b) (ou
).
(b)