Um pesquisador dividiu aves poedeiras em três grupos equiprováveis: poedeiras pesadas, poedeiras médias e poedeiras leves.
Sabendo que o peso das aves segue distribuição normal com média igual a 1,7 \mathrm{~kg} e desvio padrão igual a 0,35 \mathrm{~kg} :
(a)
Encontre o peso correspondente a cada classe.
(b)
O pesquisador escolheu ao acaso uma ave da população; qual a probabilidade de uma dessas aves ter o peso da categoria peso leve?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informações fornecidas:
    • A massa das aves segue uma distribuição normal com média \mu = 1,7\\ \mathrm{kg} e desvio padrão \sigma = 0,35\\ \mathrm{kg}.
    • As aves foram divididas em três grupos equiprováveis: poedeiras pesadas, poedeiras médias e poedeiras leves. “Equiprováveis” significa que cada classe tem a mesma probabilidade de ocorrer.
  • O que é pedido:
    (a) Encontrar os limites de peso que definem cada classe (ou seja, o peso correspondente a cada limite que separa as três classes).
    (b) Calcular a probabilidade de uma ave escolhida ao acaso pertencer à categoria “peso leve”.

Passo 2

Entendendo como dividir uma distribuição Normal em três partes iguais (terços).
  • Ideia chave: dividir a distribuição em três partes com mesma probabilidade equivale a encontrar os quantis (tertiles) de probabilidade p=\tfrac{1}{3} e p=\tfrac{2}{3}. Esses quantis são valores x tais que
P(X \le x) = p.
  • Para a Normal X\sim N(\mu,\sigma^2) usamos a padronização. Se Z é a normal padrão Z\sim N(0,1), então
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Assim, o quantil x_p da Normal é dado por
x_p = \mu + \sigma z_p,
onde z_p é o quantil da normal padrão tal que P(Z \le z_p)=p, ou seja z_p=\Phi^{-1}(p) (com \Phi a função distribuição da normal padrão).
  • Aplicando ao nosso caso, precisamos de z_{1/3}=\Phi^{-1}\!\left(\tfrac{1}{3}\right) e z_{2/3}=\Phi^{-1}\!\left(\tfrac{2}{3}\right). Por simetria da normal padrão vale
z_{2/3} = -z_{1/3}.

Passo 3

Calcular os valores de z_{1/3} e z_{2/3}.
  • Usando uma tabela de normal padrão ou calculadora estatística encontra-se
z_{1/3} \approx -0{,}4307.
  • Logo
z_{2/3} \approx +0{,}4307.
(Se na prova só houver tabela, localizar na tabela o valor de \Phi(z) mais próximo de 0{,}3333 e ler o z correspondente; esse procedimento dá o mesmo número.)

Passo 4

Calcular os limites de peso (os quantis na escala original).
  • Usamos a fórmula x_p=\mu+\sigma z_p com \mu=1{,}7 e \sigma=0{,}35.
  • Para o quantil inferior (entre leve e média), p=\tfrac{1}{3}:
x_{1/3} = 1{,}7 + 0{,}35\cdot(-0{,}4307).
Calcule passo a passo:
0{,}35\cdot(-0{,}4307) \approx -0{,}15075,
x_{1/3} \approx 1{,}7 - 0{,}15075 = 1{,}54925\\ \mathrm{kg}.
  • Para o quantil superior (entre média e pesada), p=\tfrac{2}{3}:
x_{2/3} = 1{,}7 + 0{,}35\cdot(0{,}4307) \approx 1{,}7 + 0{,}15075 = 1{,}85075\\ \mathrm{kg}.
  • Arredondando de forma prática (por exemplo com duas casas decimais, comum para pesos):
x_{1/3}\approx 1{,}55\\ \mathrm{kg},\qquad x_{2/3}\approx 1{,}85\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Interpretação final das classes (definição prática).
  • Como a distribuição é contínua, a inclusão/exclusão de pontos de fronteira não altera probabilidades. Uma forma clara de definir as três classes é:
    • Poedeiras leves: X \le x_{1/3} ou, numericamente, X \le 1{,}54925\\ \mathrm{kg} (aprox. 1{,}55\\ \mathrm{kg}).
    • Poedeiras médias: x_{1/3} < X \le x_{2/3} ou, numericamente, 1{,}54925 < X \le 1{,}85075\\ \mathrm{kg} (aprox. 1{,}55 1{,}85\\ \mathrm{kg}).
    • Poedeiras pesadas: X > x_{2/3} ou, numericamente, X > 1{,}85075\\ \mathrm{kg} (aprox. >1{,}85\\ \mathrm{kg}).
  • Observação intuitiva e útil na prova: porque as classes foram feitas equiprováveis, cada uma tem probabilidade exatamente \tfrac{1}{3} (ou 33{,}33\%) de ocorrência.

Passo 6

Calcular explicitamente a probabilidade de uma ave ser da categoria leve (parte (b)).
  • Pelo procedimento de divisão, o limiar x_{1/3} foi escolhido de modo que
P(X \le x_{1/3}) = \tfrac{1}{3}.
  • Usando a CDF da normal padrão dá o mesmo resultado:
P(X \le 1{,}54925) = \Phi\!\left(\frac{1{,}54925-1{,}7}{0{,}35}\right) = \Phi(-0{,}4307) \approx 0{,}3333.
  • Portanto a probabilidade pedida é \tfrac{1}{3}\approx 0{,}3333 (ou 33{,}33\%).

Resposta

(a) Limites das classes: poedeiras leves até 1{,}54925\\ \mathrm{kg} (aprox. 1{,}55\\ \mathrm{kg}); poedeiras médias entre 1{,}54925\\ \mathrm{kg} e 1{,}85075\\ \mathrm{kg} (aprox. 1{,}55 1{,}85\\ \mathrm{kg}); poedeiras pesadas acima de 1{,}85075\\ \mathrm{kg} (aprox. 1{,}85\\ \mathrm{kg}).
(b) P(\text{peso leve})=\tfrac{1}{3}\approx 0{,}3333 (ou 33{,}33\%).

Exercícios relacionados