O número de gotas de chocolate em um cookie tem uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda= 7,9. Suponha que a variável aleatória X seja o número de gotas de chocolate em um cookie selecionado aleatoriamente.
Qual é a probabilidade de X=6 ?

Passo 1

O enunciado dá que o número de gotas de chocolate em um cookie segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=7,9. A variável aleatória X é esse número de gotas num cookie selecionado aleatoriamente.
A pergunta é: qual é a probabilidade de ocorrer exatamente 6 gotas, isto é, calcular P(X=6).
Informações relevantes fornecidas:
  • \lambda = 7,9.
  • Queremos P(X=6).

Passo 2

A fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da distribuição de Poisson é a seguinte:
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • k é o número de ocorrências desejado (aqui k=6);
  • \lambda é o parâmetro (média) da Poisson (aqui \lambda=7,9);
  • k! é o fatorial de k, ou seja, k!=1\cdot2\cdot3\cdots k;
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. e\approx2,718281828).
    Essa fórmula vem da definição da Poisson: modela contagens de eventos raros independentes em um intervalo fixo, e dá a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.

Passo 3

Aplicando a fórmula para k=6 e \lambda=7,9, obtemos:
P(X=6)=e^{-7,9}\,\frac{7,9^{6}}{6!}.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo os componentes. Primeiro o fatorial:
6! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6 = 720.

Passo 5

Agora calcular 7,9^{6} de forma sequencial (mostrando cada passo para conseguir fazer sem pular etapas):
7,9^{2}=7,9\cdot7,9=62,41,
7,9^{3}=62,41\cdot7,9=493,039,
7,9^{4}=493,039\cdot7,9=3\,895,0081,
7,9^{5}=3\,895,0081\cdot7,9=30\,770,56399,
7,9^{6}=30\,770,56399\cdot7,9=243\,087,455521.
(Arredondamentos mantidos com muitas casas para reduzir erro final.)

Passo 6

Dividindo por 6!:
\frac{7,9^{6}}{6!}=\frac{243\,087,455521}{720}\approx 337,62146656.
Expliquei a divisão mostrando que 720\cdot337=242\,640 e o resto leva ao decimal 0,62146656.

Passo 7

Agora calcular e^{-7,9}. Uma maneira prática é usar e^{-7,9}=e^{-8}\cdot e^{0,1}. Valores aproximados conhecidos:
e^{8}\approx 2\,980,957987\quad\Rightarrow\quad e^{-8}\approx 0,0003354626,
e^{0,1}\approx 1,105170918.
Multiplicando:
e^{-7,9}=e^{-8}\cdot e^{0,1}\approx 0,0003354626\cdot1,105170918\approx 0,0003707419.

Passo 8

Finalmente, multiplicamos os dois fatores para obter a probabilidade:
P(X=6)=e^{-7,9}\cdot\frac{7,9^{6}}{6!}\approx 0,0003707419\cdot337,62146656\approx 0,1274247563.
Arredondando de forma prática para a prova (quatro casas significativas):
P(X=6)\approx 0,1274.

Passo 9

Interpretação rápida e dica de prova: o resultado P(X=6)\approx0,1274 significa que há cerca de 12{,}74\% de chance de um cookie ter exatamente 6 gotas quando a média é 7,9. Em prova, se for permitido calculadora, calcule diretamente e^{-\lambda}\lambda^{k}/k!; se não, memorizar a forma da pmf e mostrar o procedimento (como fiz) garante os passos corretos.

Resposta

P(X=6)\approx 0,1274

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