O número de gotas de chocolate em um cookie tem uma distribuição de Poisson com parâmetro
7,9. Suponha que a variável aleatória
seja o número de gotas de chocolate em um cookie selecionado aleatoriamente.
Qual é a probabilidade de
?
Qual é a probabilidade de
Passo 1
O enunciado dá que o número de gotas de chocolate em um cookie segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A variável aleatória
é esse número de gotas num cookie selecionado aleatoriamente.
A pergunta é: qual é a probabilidade de ocorrer exatamente 6 gotas, isto é, calcular .
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: qual é a probabilidade de ocorrer exatamente 6 gotas, isto é, calcular
Informações relevantes fornecidas:
-
. - Queremos
.
Passo 2
A fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da distribuição de Poisson é a seguinte:
onde:
-
é o número de ocorrências desejado (aqui ); -
é o parâmetro (média) da Poisson (aqui ); -
é o fatorial de , ou seja, ; -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ).
Essa fórmula vem da definição da Poisson: modela contagens de eventos raros independentes em um intervalo fixo, e dá a probabilidade de ocorrer exatamenteeventos.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
e
, obtemos:
Passo 4
Vamos calcular passo a passo os componentes. Primeiro o fatorial:
Passo 5
Agora calcular
de forma sequencial (mostrando cada passo para conseguir fazer sem pular etapas):
(Arredondamentos mantidos com muitas casas para reduzir erro final.)
Passo 6
Dividindo por
:
Expliquei a divisão mostrando que
e o resto leva ao decimal
.
Passo 7
Agora calcular
. Uma maneira prática é usar
. Valores aproximados conhecidos:
Multiplicando:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos os dois fatores para obter a probabilidade:
Arredondando de forma prática para a prova (quatro casas significativas):
Passo 9
Interpretação rápida e dica de prova: o resultado
significa que há cerca de
de chance de um cookie ter exatamente 6 gotas quando a média é
. Em prova, se for permitido calculadora, calcule diretamente
; se não, memorizar a forma da pmf e mostrar o procedimento (como fiz) garante os passos corretos.